方框图画法

Ky
f
m
dy dt
y 0
m
例3， 已知二串联液体储罐， 试建立其数学模型 解：
输出量h ，输入量Q ，Q 2 IN f dh 1 Q Q C in 1 1 dt dh 2 Q （Q Q ） C 1 h f 2 dt 1 Q h h k 2 2 1 Q h 1 k 1 1
Q — —液位h 的变化引起的流量变化 （单位时间） h 2 Q — —阀2开度改变引起的 流出量的变化（单位时 间） f C ，C — —储罐1，2的容量系 数 1 2 R ，R — —阀1，阀2的阻力系 数 1 2
（5）.方框图的串联、并联、反馈连接。
X1(S) X3(S) X2(S) G2(S) G1(S) X3(S) G1(S) X1(S) G2(S) + X2(S) + X4(S) X2(S)
X1(S) + E(S) G1(S)
Y(S)
G2(S)
3．方框图的运算 (1)串联连接的传递函数
X3(S) X2 ( S环节串联，传递函数等于 ) G2 ( S ) X 3 ( S ) X1(S) N个环节传 推广： N G2(S) G (S) 1 X ( S ) G ( S ) X ( S ) 函之积。 3 1 1 X2(S)
d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa） （fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2 非线性运动方程的线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化 为线性微分方程的方法，称非线性微分 方程的线性化。 §小偏差线性化：非线性微分方程能进行 线性化的一个基本假设上是变量偏离其 预期工作点的偏差甚小，这种线性化通 常称为小偏差线性化。
X 2 ( S ) G1 ( S ) E ( S ) (1) E (S) X1 (S) - Y(S) (2) Y(S) G2(S) Y(S) G 2 (S)X 2 (S) (3) (2) 代入 (1) X 2 (S) G 1 (S)[X 1 (S) - Y(S)] (4) (3) 代入 (4) X 2 (S) G 1 (S)[X 1 (S) - G 2 (S)X 2 (S)] X 2 (S) G 1 (S)X 1 (S) - G 1 (S)G 2 (S)X 2 (S) X 2 (S) G1 ( S ) (S) X 1 ( S ) 1 G1 ( S )G 2 ( S )
1 .线性定常系统或元件的运动方程与传递 函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。 2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自 身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关 ，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。
3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母 多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数 N M 。 N大于等于分子多项式的次数M，
X1(S) + E(S) G1(S)
X2(S)
当为正反馈时
G1 ( S ) ( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S )
结论：
闭环传函 前向通道传函 1 前向通道传函 反馈通道传函
例 1 : 试求如图所示系统的传递函数 (1) G2(S)
G1(S) G4(S) G3(S)
消去中间变量可得输入 参数Q （调节参数）和Q （干扰作用）与 in f 输出参数h 之间的关系式： 2 d2h dh dQ 2 2 f CRC R （C R C R ） h R Q -R Q -C R R 1 1 2 2 dt2 11 2 2 dt 2 2 in 2 f 1 1 2 dt d2h dh dQ 2 2 f TT （T T ） h R Q R Q TR 1 2 dt2 1 2 dt 2 2 in 2 f 1 2 dt
例4 设有带载直流电动机系 统，如图所示，试列写 以电枢电压 Ua 为输入变量和分别以电 动机输出轴角速度 及角位移为输出量时 的系统运动方程 解：
根据基尔霍夫定律，直 流电动机电枢回路的 运动方程为： La di R ai E Ua dt
而电动机的反电动势与 成正比，即 E Ce 当电动机空载时， M L 0，J d M f dt
§3 传递函数与方块图
—.定义
传递函数： 初始条件为 零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏 变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n 2 a n 1 p a n ) x 2 (t )
结论：二环节并联，其等效传函等于二环节传 函之和。 推广： N 环节并联，其等效传函等于各环节传 函之和。 G( S ) G1 ( S ) G2 (S ) .... Gn ( S )
(3)反馈回路传递函数的求取 前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。
4.传递函数写成
(S - Z1)(S Z 2 )......(S Z m ) G(S) k (S - P1)(S P2 )......(S Pn )
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m 和P 1 , P2 , P 3 Pn 为G(S) 的零点和极点。 5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
R
L
U1
（2） （3） i CU 2
i
C
U2
即
例2， 如图所示为一弹簧阻尼 系统，图中质量为m的 物体受到外力 作用产生位移Y，求该 系统的运动方程 解：
输入量：外力F 输出量：位移y 根据牛顿定律 ma F F F F s f dy F Ky F f s f dt d2y dy m f Ky F dt2 dt d d2 2 记 P P dt dt2 则有： （mP 2 fP K）y F
§4 控制系统的传递函数
R(S) (S)
Y(S)
X 1 ( S ) G1 ( S ) ( S )
F(S) G1(S) X1(S) X2(S) G2(S) H(S)
C(S)
( S ) R( S ) Y ( S )
Y ( S ) H ( S )C ( S ) C ( S ) G( S ) X 2 ( S ) X 2 (S) X1(S) F(S) G1 ( S )G 2 ( S ) G2 ( S ) C(S) R( S ) F(S) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S ) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S )
电枢电流i在恒定磁场中产生的电 磁力矩为M CM i 消去中间变量得：
d 2 d JLa 2 （JRa fL a） （fR a CM Ce） CM U a dt dt 当电动机输出轴带负载 时，M L 0，则由牛顿定律有 J d M - f - M L dt
例1，将具有两个自变量 X和Y的非线性函数 Z F（X，Y） 在预期工作点（ X 0，Y0）处展开，进行线性化 解：
在（X ，Y ）邻域有 0 0
F Z F（X，Y） F（X ，Y ） | X 0 0 X X X 0 2 F 1 F | Y （ [ ） XY Y Y Y 2 ！ XY X X 0 0 Y Y 0 2F 2 （ ） （Y） X X 2 Y 0 Y Y 0 忽略X，Y的二阶及二阶以上高阶项有 F F（X，Y） F（X ，Y ） （ ） X 0 0 X X X 0 Y Y 0 F （ ） Y Y X X 0 Y Y 0 F F F（X，Y） （ ） X （ ） Y X X X 0 Y X X 0 Y Y Y Y 0 0
例2.将Y F（X）线性化，工作点为（ X 0，Y0） df 1 d2 f 2 Y F （ X） F（X 0） （ ） X （ ） （ X ） XX XX dx 2 ！ dX 2
0 0
df ， F（ X） F（X 0） （ ） X f （ X 0）X XX dx
三.方块图
1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示
X 2 (S) G(S)X 1 (S)
X1(S)
G(S)
X2(S)
2.常用符号及术语
(1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向； (2).相加点(比较点） X1(S) E(S) X2(S) E(S) X1 (S) - X 2 (S) ； (3). 分支点 : 信号分出的一点 , 称为分支点 , 通过分 支点的信号都是相同的； X(S) X(S) (4).方框:对信号进行的数学变换； X(S)
(b0 p
b1 p
m 1
b m 1 p
bm ) x1 (t )
则其传递函数为 X (S) b0 S m b1 S m 1 bm GS 2 X ( S ) S n a S n1 a S a n 1 1 n1
例 1 ，试求R L C网络的传递函数 解：
G(S ) G1 (S )[G2 (S ) G3 (S )]G4 (S ) G1 (S)G 2 (S)G 4 (S) G1 (S)G 3 (S)G 4 (S)
(2)
G1(S) G3(S) G2(S)
G4(S)
G1 (S)G 2 (S) (S) 1 G1 ( S )G2 ( S )G3 ( S )G4 ( S )
R
L
U1 i
C
U2
解：根据基尔霍夫定律 有 U U U U 1 R L C U Ri R di U L L dt 1 U U idt 2 C C di U Ri L U 1 dt 2 对（2）式求导得 代入（3）并整理得 d2U du 2 RC 2 U U LC 2 1 dt dt2 。 1 U2 i C （1）
(1)若 则
F (S ) 0 G1 ( S )G2 ( S ) C (S ) R( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S ) H ( S )
0
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲 线。 说明： A. 线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或 X 1 的各界导数处 偏导数存在,如图所示的继电器特性， 处不存在，本质非线性； B.必须明确工作点的参数； C. 如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运 动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只 能适用于变量的微小变化。
第二章 控制系统的数学模型 §1 控制系统的运动方程式
列写系统运动方程的步骤
确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写
出各元件的运动方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的 标准形式
例1
设有由电感L，电容C 和电阻R组
成的电路，如图所ห้องสมุดไป่ตู้. 试求出以输出电 压U 2为输出变量和以输入电 压U 1为输 入变量的运动方程。
RCP 1 ）U （t） U （t） 2 1 求该微分方程在零初始条件下的拉氏变换有 2 （LCP RCS 1 ）U （S） U S 2 1 U S 1 2 G S 2 U S LCS RCS 1 1 由前面知（LCP 2



二 传递函数的性质
G(S) G 1 (S)G 2 (S)
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。
G(S) G (S)G (S) G ( S )
1
2
n
(2)并联连接的传递函数
X3(S) G1(S) + X2(S)
X1(S)
G2(S)
+
X4(S)
X 2 (S) X 3 ( S ) X 4 (S ) G(S) G1 ( S ) G2 ( S ) X1 (S) X 1 (S )