哈尔滨中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习

考点：四边形综合题 5．如图（1）在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一动点，连接 AE，作 BF⊥AE，垂足为 G 交 AD 于 F （1）求证：AF＝DE； （2）连接 DG，若 DG 平分∠ EGF，如图（2），求证：点 E 是 CD 中点； （3）在（2）的条件下，连接 CG，如图（3），求证：CG＝CD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析． 【解析】
【分析】 （1）证明△ BAF≌ △ ADE（ASA）即可解决问题． （2）过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．想办法证明 AF＝DF，即可解决 问题． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明 BC＝CP 即可． 【详解】 （1）证明：如图 1 中，
，
∴ △ AGE≌ △ AFE（SAS）；
（2）设正方形 ABCD 的边长为 a． 将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG，连结 GM． 则△ ADF≌ △ ABG，DF=BG． 由（1）知△ AEG≌ △ AEF， ∴ EG=EF． ∵ ∠ CEF=45°， ∴ △ BME、△ DNF、△ CEF 均为等腰直角三角形， ∴ CE=CF，BE=BM，NF= DF， ∴ a﹣BE=a﹣DF， ∴ BE=DF， ∴ BE=BM=DF=BG， ∴ ∠ BMG=45°， ∴ ∠ GME=45°+45°=90°， ∴ EG2=ME2+MG2， ∵ EG=EF，MG= BM= DF=NF，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动．
（1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠ BMC=90°； （2）如图 2，当 b＞2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在∠ BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 b＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD 是矩形，即可求得∠ AMB=∠ DMC=45°，则可求得∠ BMC=90°； （2）由∠ BMC=90°，易证得△ ABM∽ △ DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比 例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由 b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△ ＞0，即可确定方程有 两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当 b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程 x2﹣bx+a2=0 的根的情况，即可求得答 案． 试题解析：（1）∵ b=2a，点 M 是 AD 的中点， ∴ AB=AM=MD=DC=a， 又∵ 在矩形 ABCD 中，∠ A=∠ D=90°， ∴ ∠ AMB=∠ DMC=45°， ∴ ∠ BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠ BMC=90°， 则∠ AMB+∠ DMC=90°， 又∵ ∠ AMB+∠ ABM=90°， ∴ ∠ ABM=∠ DMC， 又∵ ∠ A=∠ D=90°， ∴ △ ABM∽ △ DMC， ∴ AM AB ，
CD DM
设 AM=x，则 x a ， a bx
整理得：x2﹣bx+a2=0， ∵ b＞2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴ 当 b＞2a 时，存在∠ BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠ BMC=90°， 由（2）可知 x2﹣bx+a2=0， ∵ b＜2a，a＞0，b＞0， ∴ △ =b2﹣4a2＜0， ∴ 方程没有实数根， ∴ 当 b＜2a 时，不存在∠ BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
∴ AF＝DF＝DE＝ 1 AD＝ 1 CD， 22
即点 E 是 CD 的中点． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，
∠ ADE＝∠ ECP＝90°，∠ DEA＝∠ CEP， ∴ △ ADE≌ △ PCE（ASA） ∴ AE＝PE， 又 CE∥ AB， ∴ BC＝PC， 在 Rt△ BGP 中，∵ BC＝PC，
∴ CG＝ 1 BP＝BC， 2
∴ CG＝CD． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题．
6．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF 为正三角形，E、F 在菱形的边 BC，CD 上． （1）证明：BE=CF． （2）当点 E，F 分别在边 BC，CD 上移动时（△ AEF 保持为正三角形），请探究四边形 AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． （3）在（2）的情况下，请探究△ CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如 果变化，求出其最大值．
∴ EF2=ME2+NF2；
（3）EF2=2BE2+2DF2． 如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点， 将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ AGH，连结 HM，HE． 由（1）知△ AEH≌ △ AEF， 则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2， 即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2 又∴ EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2， 即 2（DF2+BE2）=EF2
在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠ BAD＝∠ D＝90o， ∴ ∠ 2+∠ 3＝90° 又∵ BF⊥AE， ∴ ∠ AGB＝90° ∴ ∠ 1+∠ 2＝90°， ∴ ∠ 1＝∠ 3 在△ BAF 与△ ADE 中， ∠ 1=∠ 3 BA=AD ∠ BAF=∠ D， ∴ △ BAF≌ △ ADE（ASA） ∴ AF＝DE． （2）证明：过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2. 【解析】 试题分析：（1）根据旋转的性质可知 AF=AG，∠ EAF=∠ GAE=45°，故可证△ AEG≌ △ AEF； （2）将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG，连结 GM．由（1）知 △ AEG≌ △ AEF，则 EG=EF．再由△ BME、△ DNF、△ CEF 均为等腰直角三角形，得出 CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后证明∠ GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2； （3）将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG，根据旋转的性质可以得到 △ ADF≌ △ ABG，则 DF=BG，再证明△ AEG≌ △ AEF，得出 EG=EF，由 EG=BG+BE，等量代换 得到 EF=BE+DF． 试题解析：（1）∵ △ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG， ∴ AF=AG，∠ FAG=90°， ∵ ∠ EAF=45°， ∴ ∠ GAE=45°， 在△ AGE 与△ AFE 中，
【答案】(1)见解析；（2） 4 3 ；（3）见解析
【解析】 试题分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD 为等边三角形，得∠ 4=60°， AC=AB 进而求证△ ABE≌ △ ACF，即可求得 BE=CF； （2）根据△ ABE≌ △ ACF 可得 S△ ABE=S△ ACF，故根据 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC 即可解题； （3）当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△ AEF 的面积会随着 AE 的变化 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 S△ CEF=S 四边形 AECF-S△ AEF，则 △ CEF 的面积就会最大. 试题解析：（1）证明：连接 AC， ∵ ∠ 1+∠ 2=60°，∠ 3+∠ 2=60°， ∴ ∠ 1=∠ 3， ∵ ∠ BAD=120°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=60° ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD， ∴ △ ABC、△ ACD 为等边三角形 ∴ ∠ 4=60°，AC=AB， ∴ 在△ ABE 和△ ACF 中，
则 AD=2AE，即 60﹣4t=2×2t，解得：t= 15 ， 2
②如图 2，∠ DEF=90°，DE⊥AC，
则 AE=2AD，即 2t 2(60 4t) ，解得：t=12， 综上所述，当 t= 15 或 12 时，△ DEF 为直角三角形.
2
4．在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且∠ EAF=∠ CEF=45°. (1)将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG(如图①)，求证：△ AEG≌ △ AEF； (2)若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2； (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段 EF， BE，DF 之间的数量关系.
由（1）得∠ 1＝∠ 3，∠ BGA＝∠ AND＝90°，AB＝AD ∴ △ BAG≌ △ ADN（AAS） ∴ AG＝DN，
又 DG 平分∠ EGF，DM⊥GF，DN⊥GE， ∴ DM＝DN， ∴ DM＝AG，又∠ AFG＝∠ DFM，∠ AGF＝∠ DMF ∴ △ AFG≌ △ DFM（AAS），
2．已知：在菱形 ABCD 中，E，F 是 BD 上的两点，且 AE∥ CF． 求证：四边形 AECF 是菱形．
【答案】见解析 【解析】 【分析】 由菱形的性质可得 AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，由“SAS”可证△ ADF≌ △ CDF，可得 AF＝CF，由△ ABE≌ △ CDF，可得 AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形 AECF 是菱形． 【详解】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF， ∵ AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，DF＝DF ∴ △ ADF≌ △ CDF（SAS） ∴ AF＝CF， ∵ AB∥ CD，AE∥ CF ∴ ∠ ABE＝∠ CDF，∠ AEF＝∠ CFE ∴ ∠ AEB＝∠ CFD，∠ ABE＝∠ CDF，AB＝CD ∴ △ ABE≌ △ CDF（AAS）
∴ AE＝CF，且 AE∥ CF ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 又∵ AF＝CF， ∴ 四边形 AECF 是菱形 【点睛】 本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.
3．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90°，AC=60cm，∠ A=60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0＜t≤15）．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF．
∴ AB= 1 AC= 1 ×60=30cm， 22
∵ CD=4t，AE=2t， 又∵ 在 Rt△ CDF 中，∠ C=30°，
∴ DF= 1 CD=2t，∴ DF=AE； 2
（2）能， ∵ DF∥ AB，DF=AE，
∴ 四边形 AEFD 是平行四边形， 当 AD=AE 时，四边形 AEFD 是菱形，即 60﹣4t=2t，解得：t=10， ∴ 当 t=10 时，AEFD 是菱形； （3）若△ DEF 为直角三角形，有两种情况： ①如图 1，∠ EDF=90°，DE∥ BC，
（1）求证：AE=DF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，△ DEF 为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t= 15 或 12. 2
【解析】 【分析】 （1）利用 t 表示出 CD 以及 AE 的长，然后在直角△ CDF 中，利用直角三角形的性质求得 DF 的长，即可证明； （2）易证四边形 AEFD 是平行四边形，当 AD=AE 时，四边形 AEFD 是菱形，据此即可列方 程求得 t 的值； （3）△ DEF 为直角三角形，分∠ EDF=90°和∠ DEF=90°两种情况讨论. 【详解】 解：（1）证明：∵ 在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°﹣∠ A=30°，