不确定性原理的推导

(1)

不确定性原理的推导

、（普遍的）不确定性原理推导:

对于任意一个可观测量 A ，有（见（12）式）：

2 A

((A (A 网(A (A ))q (f |f )

式中：f （A （A ）） 同样地，对于另外一个可观测量 B ,有:

(g |g )

式中：g （E? （B ））

由施瓦茨不等式（见（16）式），有: 2 A

对于一个复数Z （见（17）式）： 2

[Re(z)]2 [lm(z)]2 [lm(z)]2 [-(z z)]2

令z 〈f |g ），（2）式: （f |g ） M （A 〉）|（E ?

何（R 〈A ）（E ? & （A? A （B ） 何A E ?巧（屮A 巧（A 仕 訓）〈A ）（B 〉〈屮屈 俺）

⑻）） 臥

A

（A ）（B ）））

⑻〈A ）〈A ）⑻（A ）⑻

类似有: (f

(9)

(f |g } (g |f )

(A?)〈B?)

( A,B )

把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理:

二、位置与动量的不确定性

去掉测试函数，则:

由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性:

所以

式中对易式:

A,B AB BA

(6)

设测试函数f （x ）,有（见（23） 式）

：

X, P f(x)

X 屿(f) i£(xf) i dX i dX

X 迪 i dX 施if

i dX i dX

(7)

X, P

=巾

(8)

令A X, B p ，把（8）代入

（6）：

三、时间与能量的不确定性

由（见（24）

式）：

(10) 可得:

所以时间与能量的不确定性:

(11)

附:

1、数学符号及常量

x的平均值

矢量（函数）a和B的点积（内积）

j的不确定程度，即j的标准差

It：—，其中h=6.6260693(11) W-34J s 为普朗克常量i2

2、有关公式推导

（1）式:

(屮Q?(Q}

式:

对于〈I )|2和(I )(

(X i,X2,X3,…,X n)

（

Q

(12)

»,(y1,y2, y3,…,y n)

L 2

)(X』畑2X3y3 …\2

X n V n)(13) ()=(X122X22X3 …X n) (14)

()=(Vi y；v2…y n) (15)

2 9 (tX1 yj (tX2 y2)

2

(tX3 y3)…(tX n

y n)20

其中t为未知数

显然，该方程最多仅有一个对t的解该方程可写为:

/ 2 2 2 2.丄2 〜

(X1 X2 X3 …X n) t 2(X1y1 X2y2 X3y3 …X n y n) t (y

；

2

y2 2 y3 y；)=o

因为其解只有0或1个，所以0 :

4( X1 y i X2 y2 X3y3 … X n y：)2

4(X

1

X：)(

y1

2

y2 2 y3 y；) 0

把(12)、(13)、( 14)式代入，得:

(16)

式:

ib

1

4[(a ib) (a

2

ib)]

1

严) b2

所以

(6) 式:

薛定谔方程: 可以写做: [Im( z)]2 = b2

[lm(z)]2［扣z)]2

- 2

2m X

(18)

- 2

2m X

所以

—(W

W)

2

W

7 2W —W x

由(13)、(14)式，有:

d(x

〉

dt 利用分部积分公式:

(15)式可以写为

dt

1

2m (19)

2

dx (20)

X—W

t

1

2m

2

dx

—W dx

x

(21)

f%

dx

b df

—gdx a

dx

fg (22)

1

2m

对第二项再分部积分，消去边界项(在±8处W趋于0)，得:

所以:

〈P) m W m呼

dt

J- 2j ⑴〈j )2 P(j)

2

j 2P(j) 2(j) JP (j)⑴ P(j) j 2〈j X j 〉⑴2 j ⑴2

参考文献 :《Introduction to quantum mechanics 》 -- David J Griffiths

则有（6）式中的（ X 、p 为算

符）：

(9)式: (23)

2

j P(j)

(j (j ))2P(j)

所以，标准差: (24)