高考数学提分秘籍 必练篇 基本不等式

高考数学提分秘籍 必练篇 基本不等式
：ab ≤
a ＋b
2
1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y ＝1，则xy 的最小值为( )
A ．4
B ．43
C ．9
D ．16
解析：由32＋x ＋3
2＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .
∵x ，y 均为正实数，
∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，
可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D
2．设a >0，b >0.若3是3a 与3b
的等比中项，则1a ＋1b
的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1 D.1
4
解析：∵3是3a
与3b
的等比中项，∴(3)2
＝3a ·3b
. 即3＝3
a ＋b
，∴a ＋b ＝1.
此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．
答案：B
3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y
)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y x
＋a
≥a ＋1＋2
a ·x y ·y
x ＝a ＋2 a ＋1，
当且仅当a ·x y ＝y x
等号成立， 所以(a )2
＋2a ＋1≥9，
即(a )2
＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C
4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a
x ＋1
＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一
个定点，则当1a ＋1
b
取最小值时，函数f (x )的解析式是________．
解析：函数f (x )＝a
x ＋1
＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1
b
)
＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入1
2a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1
＋1.
答案：f (x )＝(22－2)
x ＋1
＋1
5.已知a ≥0，A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2
≤3
解析：法一：由a ＋b
2
≥ab 得ab ≤(
a ＋b
2
)2
＝1，又a 2
＋b 2
≥2ab ⇒2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
⇒a
2
＋b 2
≥2.
法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足
a ＋
b ＝2.但ab ＝1，可排除A.
答案：C
6．设a 、b 是正实数， 以下不等式 ①ab >
2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2
；④ab ＋2ab
>2恒成立的 序号为( )
A ．①③ B．①④C．②③ D．②④
解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab
a ＋
b .当且仅当a ＝b 时
取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2
＋b 2
－4ab ＋3b 2
＝(a －2b )2
≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab
≥2
ab ·2
ab
＝2 2>2
恒成立． 答案：D
7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1
c
－1)≥8.
证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，
∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc
＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc
＝8.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时取等号．
题组三
基本不等式的实际应用
8.某商场中秋前30f (t )＝t 2
＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)
10
)的月饼最少为( )
A ．18
B ．27
C ．20
D ．16
解析：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t
＋10≥18.
当且仅当t ＝16
t
，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.
答案：A
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：设仓库建在离车站d 千米处，
由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20
d ，
y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45
，∴y 2＝45
d ，
∴y 1＋y 2＝20d ＋4d
5
≥2
20d ·4d
5＝8， 当且仅当20d ＝4d
5，即d ＝5时，费用之和最小．
答案：5
10．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 x
平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2
，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162
x
米．
则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100
x
＋12
960
＝1 296(x ＋100
x
)＋12 960
≥1 296×2 x ·
100
x
＋12 960＝38 880(元)，
当且仅当x ＝100
x
(x >0)，
即x ＝10时取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪
⎧
0<x ≤160<162
x
≤16，∴101
8
≤x ≤16.
设g (x )＝x ＋100x (101
8≤x ≤16)，
由函数性质易知g (x )在上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162
x
＝16)，
g (x )有最小值，即f (x )有最小值
1 296×(1018＋800
81
)＋12 960＝38 882(元)．
∴当长为16米，宽为101
8
米时，总造价最低，为38 882元．
(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)．如果
不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；
(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，
∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－
2
m ＋1
， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x
(元)，
∴2010年的利润
y ＝x ·－(8＋16x )－m
＝－[
16
m ＋1
＋(m ＋1)]＋29(元)(m ≥0)． (2)∵m ≥0，∴
16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤29－8＝21， 当
16
m ＋1
＝m ＋1，即m ＝3，y max ＝21. ∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．
11.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则|a |＋|b |的最大值为( )
A.2B ．1C.
24 D.22
解析：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2
＝2－b 2
⇒a 2
＋b 2
＝2.
根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b |
|a |＋|b |≤
a 2＋
b 2
2
＝1.
即2ab |a |＋|b |的最大值为1. 答案：B
12．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b
y
时取
等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，1
2))取得最小值时x 的值为( )
A ．1 B.15C ．2 D.1
3
解析：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y 得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝
3
1－2x
时取等号，即当x ＝1
5时f (x )取得最小值25.
答案：B
13．已知关于x 的不等式2x ＋
2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．
解析：因为x >a ，所以2x ＋
2x －a ＝2(x －a )＋2x －a
＋2a ≥2 2(x －a )·
2
x －a
＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为3
2.
答案：3
2。