材料力学扭转变形

非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究
非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。
自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。
约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。
矩形截面杆自由扭转时应力分布特点
1 2 0
§3-5 扭转变形和刚度计算
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T 扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx
GI P
T dx
L GI P
扭矩不变的等直轴
Tl
GI p
各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili
扭转角单位：弧度（rad）
d T
dx GI P
d
dx
2

T2 GIp
因 T1 T2
故
max
d
dx max
1
T1 GIp
max

180 N m
180
(80 109 Pa)(3.0 105 10-12 m4 ) π
0.43 () / m [ ]
轴的刚度足够
例2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW， 从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知 [τ]=70MPa， [ ]=1º/m ，G=80GPa。
试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。
解：1)圆截面 circular
d
a
c max

16T
d 3
,
c

32Tl
Gd 4
.
a
2)矩形截面 square
s max


T a3

T 0.208a3
,
s

Tl
Ga4

Tl 0.141a4
.
3)、两者的比值：d 2 a2, a d .
d2

π[ ]
π 70106
4580N m
69.3103 m 69.3mm
7640N m
按刚度条件
d2

4
32T 180
Gπ 2 [ ]

4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时
4
c max
s max

16 0.208a3

(
)3 0.737,
2
c s
2

32
0.141



2
4
0.886
.
结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方
形截面要好。
例2 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能， 设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC

T2l GIp

1.1710-2
rad
AC AB BC 1.5010-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2. 刚度校核
1


d
dx
1

T1 GIp
2


铸铁试件：
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差， 构件沿45斜截面因拉 应力而破坏（脆性材 料）。
´ e
n


x 设：ef 边的面积为 dA 则
b ´f t
eb 边的面积为dAcosα ef 边的面积为dAsinα
n 0, dA (dAcos)sin (dAsin) cos 0
(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
B d2
A M e1
M e2
C
M e3
解：1.外力偶矩
M e1

9549
P1 n

9549
400 500

7640N m
160
240
M e2 400 M e1 3060N m M e3 400 M e1 4580N m
T
故 1 2 0
b
n 0
故 n 0 max
h
1、 横截面上角点处，切应力为零
1
2、 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
3、 横截面周边长边中点处，切应力最大
矩形截面杆自由扭转时应力计算 （弹性力学解）
长边中点 最大
max
T Wt

T
hb2
1 max
2.扭矩图
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
B d2
A
C
M e1
M e2
M e3

max

16T
d13

4580N m
7640N m
3
d1
16T
π[ ]
3

16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
m ax

32T
450 , min ; 2 ) max :
45°
0 , max ; 横截面上！
´
结论：
若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。
§3-7 矩形截面杆的自由扭转
常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件 圆杆扭转时—— 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。
τ
闭


T 2R02δ
闭

Tl
2GπR03
闭

T
2πR02
2. 开口薄壁圆管

开

3T
h 2

3T
2πR0
2
3. 抗扭性能比较
开 闭

3
R0



60
闭

Tl
2GπR03
开

3Tl
Gh
3

3Tl
2πR0G
3
开 闭

3
R0

2

1200
在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好
d d1 86.4mm
6.将主动轮装在两从 动轮之间
受力合理
d1
B d2
A
C
M e1
M e2
M e3

4580N m
7640N m
d1
A d2
B
C
M e2
M e1
M e3

3060N m

4580N m
圆轴扭转破坏分析
低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；


Tl GIt

Tl
Ghb3
系数 , , 与 h/b 有关，见教材之表3-2
狭窄矩形截面扭转
狭长矩形 ( h 10 ) , 1

3
推广应用
h－中心线总长
当 h 10 时
max

3T
h 2


3Tl
Gh
3
例1：T , G, A, l 均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。
Gd14
180



d1

4
32T 180
Gπ 2 [ ]

4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
d1
B d2
按强度条件
A
C
M e1
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
GI pi
GIP——抗扭刚度。
rad m ——单位长度的扭转角
2、刚度条件：
max

Tm a x GI P


max

Tmax 1800
GIP



m
3、刚度条件应用：
1)、校核刚度；max ≤
T
2)、设计截面尺寸:
Ip

max
G[ ]
3)、确定外荷载: Tmax GI p [ ]
t 0, dA (dAcos ) cos (dAsin )sin 0
sin 2 cos 2
sin2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ;
例1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140
N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
T1 M A 180 N m

AB

T1l GIp