第四章 2椭球面上几种曲率半径

上一讲应掌握的内容 5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系 (L，x，y) (L，B)
2 y N ( 1 e ) sin B x N cos B • 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，x，y) X x cos L, Y x sin L, Z y • 空间直角坐标系与大地坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，B)
a2 c , b t tan B,
e ' cos B
2 2 2
W 1 e2 sin 2 B V 1 e2 cos 2 B 1 2
3、经线、纬线、法线的特性 4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系 • 子午面直角坐标系 (L,x,y) • 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A） • 大地坐标系 （L，B）
d2 x k 2 dy
(1 e2 sin 2 B) W3 子午线曲率：k 2 a(1 e ) a(1 e2 )
a(1 e2 ) 子午线曲率半径：M W3 或: c 3 V
子午圈曲率半径随纬度变化情况
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
三、卯酉圈（线）曲率半径 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法 截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面 同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧， 一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条 截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲 率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面 夹角的余弦。

R
b c N a 2 1 e W2 V2 V W2
六、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M90 c
为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式
W 1 e2 sin 2 B V 1 e2 cos 2 B
椭球面上几种曲率半径
N n0 n2 sin 2 B n4 sin 4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数
主曲率半径的计算公式系数
m0 a (1 e )
2
n0 n2 n4 n6 n8
m2 m4 m6 m8
3 2 e m0 2 5 2 e m2 4 7 2 e m4 6 9 2 e m6 8
二、子午圈（线）曲率半径
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x N cos B
x=a cos u 或： y b sin u y N (1 e2 )sin B
dS dB
几何意义 : M
dS
dx sin B
M
dx 1 dB sin B
m2 cos2 B m4 cos4 B m6 cos6 B m8 cos8 B M m0
n2 cos2 B n4 cos4 B n6 cos6 B n8 cos8 B N n0
主曲率半径的计算公式系数（续）
a / 1 e2 m0 m2 m4 m6 m8 3 2 e m0 2 5 2 e m2 4 7 2 e m4 6 9 2 e m6 8
• 对称性：对于三个坐标面、三个坐标轴、坐标原点 都是对称的。 • 有界性： X a, Y a, Z b • 正则性：旋转椭球面是一个连续、封闭的正则曲面， 即每个曲面点都有唯一确定的非零的法向量。 • 不可展性：（柱面、锥面是可展曲面） 地图投影须顾及旋转椭球面不可展性。
一、椭球面上法截线有关概念
φ B u
sin B V sin u
tan (1 e2 ) tanB
大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
( B u ) max 5.9' (u ) max 5.9' ( B ) max 11.8'
八、旋转椭球面的几何性质(上讲)
四、任意法截弧的曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由 微分几何的尤拉公式得： T（北）
1 cos A sin A kA RA M N
RA MN N cos 2 A M sin 2 A
2 2
子午线 Q
A
卯酉线 P D（东）
N N RA 2 2 1 cos A 1 e '2 cos 2 B cos 2 A
上一讲应掌握的内容 5、各坐标系间的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系 X=a cos u cos L (X，Y，Z) (L，u) Y a cos u sin L
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Z b sin u • 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系 (X，Y，Z) （L，Φ，ρ） X a cosφ cos L
• 经线与纬线互相垂直
• 除赤道、两极上的法线外，法 线不通过椭球中心
• 纬度较高的点，其法线与旋转 轴的交点就较低 • 同一点的经线切线与纬线切线 垂直，也与法线垂直，三者可 构成三维直角坐标系 • 平行圈的主法线、副法线及切 线亦可构成三维直角坐标系
N
Z R T M S
O
B
P
法截线
第四章
Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（线）曲率半径 ——卯酉圈（线）曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ； 扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′ ？ 2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V
1 e2 1 e2 cos 2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系 (S，A) (L，B) Z a sinφ 大地主题解算
1 e2 Y a cosφ sin L 1 e2 cos 2φ 1 e2 1 e2 cos 2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系 • 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处: ∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣
卯酉线（圈）曲率半径推导思路
r N cos B
a cos B xr W
a c N W V
Pn N PO ' r cos B cos B
卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。
RA N (1 2 cos2 A 4 cos4 A )
任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。 • 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ
• 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 • 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化 是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。 两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径 曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。 曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
n0 n2 n4 n6 n8
a / 1 e2 1 2 e n0 2 3 2 e n2 4 5 2 e n4 6 7 2 e n6 8
结束 • 再见!
经线、纬线、法线的特性
a cos B a cos B x W 1 e2 sin 2 B
dx a sin B 2 ( 1 e ) 3 dB W
a(1 e 2 ) M W3
c M 3 V
子午线曲率半径（另一种推导）
x N cos B y N (1 e2 )sin B
dx dy
3 2
五、平均曲率半径

只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：

MN a 1 e2 R RAdA dA MN 2 2 2 N cos A M sin A W 0 0 0 2 1
2
2
2
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 R MN
六、主曲率半径的计算公式
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是 两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统 称为主曲率半径。
M a(1 e2 )(1 e2 sin 2 B)
3 2
N a(1 e2 sin 2 B)

1 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin 6 B m8 sin8 B
a 1 2 e n0 2 3 2 e n2 4 5 2 e n4 6 7 2 e n6 8
主曲率半径的计算公式（续）
亦可按：
3 c 2 2 M 3 c (1 e cos B) 2 V
展开。
则得：
1 c N c (1 e2 cos 2 B) 2 V
X x cos L N cos B cos L Y x sin L N cos B sin L Z y N (1 e 2 ) sin B
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L 2 [ N (1 e ) H ]sin B Z