等差数列的判定与证明—中项公式法概论

a pn q 例1．已知数列的通项公式为
，其中 p, q, 是
常数，且
， 那么这个数列是否一定是等n差数
p 0 列？如果是，其首项与公差是什么？
{a } 分析：由等差数列的定义，要判断 是不是等差数列，
只要看
是不是一个与n 无关的 n
常数就行了. a n a n1(n 2)
解：取数列
{a } 中的任意相邻两项 n
∴d>0，∴d＝1， 故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
总结：等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
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等差数列的判定与证明—中项公式法
等差中项的定义 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
b A A a A a b b 2A a(或a 2A b)
意义：
2
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
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化简得d2＝16，于是d＝±4， 故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，
， 其中
p, q 是常数. 当
时，它是关于 n 的一次式，
因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函
数
p 0 的图像上，其坐标为
.
an pn q
y px q
(n,an )
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例题 2： (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四
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与
an1 an (n 2),
an an1 (pn q) [p(n 1) q]
pn q (pn p q)
p.
3
{a } 这是一个与 n 无关的常数，所以 是等差数列，公差是p.
在通项公式中令 n＝1，得
，所以这个
n
等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为
等差中项的应用
例 3：已知 a2、b2、c2 成等差数列．求证：b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b 成等差数列．
解：∵a2、b2、c2 成等差数列，∴b2＝12(a2＋c2)． ∴b＋1 c＋a＋1 b＝ba＋＋cc＋ a＋2bb＝ab＋a＋bcc＋＋c2ab＋b2 ＝ab＋bca＋＋cca＋＋212ba2＋c2＝a＋2ca＋2cb＋＋2ab＋ c ＝a＋2 c. ∴b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列．