连续系统最优控制

第二章连续系统最优控制

✷2.1 引言

✷2.2 时间端点固定的情况

✷2.3 有终端函数约束的情形

✷2.4 终时不指定的情况

✷2.5 小结

（2-1）为了对动态系统实现最优控制，首先要了解动态系统，获得描写动态的动态方程；其次，要提出目标，即控制的结果要使什么为最优。然后再用数学手段来处理。

00)(),),(),((.

.x t x t t u t x f x t s == m

n R u R x ∈∈, 式中⎰+=f t t f f u dt

t t u t x t t x J 0)),(),((]),([min φθ泛函求极值

2.1引言

t 0原处于平衡状态（作为零状态），当外界扰动使系统偏离零状态，达到某一状态时，应对系统施加怎样的控制u （t ），才能使系统从时刻起，到时刻止达到所希望的状态，并满足某种目标J 为最小。

)),(),((t t u t x f x

= 00)(x t x =f t 上述泛函求极值问题在变分方法中称为Bolza 问题。它表示这样一种概念：非线性系统

)(f t x

为对稳态提出的某种要求，例如稳态误差；而为对暂态过程提出的某种要求，例如暂态误差、能量消耗等。在式（2-1）中，若=某值，则为设计终端控制器问题；若 =0，则为设计调节器问题。]),([f f t t x θdt t t u x f

t t )),(,)((0

⎰φ在式（2-1）中，目标函数J 为标量，目标J 包含两项：

)(f t x )

(f t x dt t t u x f

t t )),(,)((0

⎰φ表示暂态误差与能量消耗，那么，式（2-1）实际上是多个目标之和。

在设计问题中，往往是多目标优化问题，例如：工厂的利润要高，原材料消耗要小，职工福利要好。当然，这是静态问题。多目标优化的问题只能求得

折衷解（或称非劣解），并不存在各个目标均为最

优的那种最优解。

对待多目标优化问题最常用、最简便的解法是：用加权系数把多目标优化问题为单目标优化问题。

为能量消耗, =0.02,则体现出主观上

在式（2-1）中，由于和都以抽象形式给出，所以没有明显的加权系数；但是，一旦把和具体用算式表出时，主观的态度就明朗化了。

总之，式（2-1）中目标J 是标量目标函数，它表示了加权的多目标之和。以下不仿看作各个权系数都相等。

本章直接利用第一章变分法的结果，寻求式（2-1）中所示泛函求极值问题的解，即解决连续系统最优控制的实际问题。

θφθφ

f t t t ,,0,,,10x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(t u t x 为了直接利用第一章变分法的结果，注意本章的各相当于第一章的相当于相当于第一章的y (x ) ，而本章的

⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(t u t x .

y '

0t f t 2.2时间端点固定的情况

泛函求极值，即式（2-1）

0)(),,,()(..)),(,)((]),([min 0

x t x t u x f t x t s dt t t u t x t t x J f

t t f f u ==+=⎰ φθ,,m n R u R x ∈∈式中，及固定。

例如，电动机空载1500转/分，当机械负载使电动机的转速下降为1450转/分时，应如何设计控制器，该控制器能提供一作用于电动机电枢或磁场

t0t f

的控制作用，使电动机从时刻到时刻，再回到1500转/分附近，并满足某种目标函数为最优，这是终端控制器的设计问题。是终端控制器还是调节器应提出补充要求。

将式（2-1）所示约束优化问题转化为无约束优化问题，

（2-2）式中，令Hamilton 函数

f

t t t u t x H T

λφλ+=]),(),(),([H 是标量函数，它只是t t t u t x ),(),(),(λ的函数。

以后将陆续证明Hamilton 函数在数学上有许多特殊性质。dt t x

t t t u t t x H t t x dt t x t t u t x f t t t u t x t t x J *T t t f f T f f u f f t t )}()(]),(),(),([{]),([)]()),(),(()[()),(),(([]),([min 00

λλθλφθ-+=-++=⎰⎰

不必强求物它的形式相当于普通函数的全微分。右边的第二项的

于是上式可化成为

－3）

u dt

）2-

，得泛函极值存在的必要由于原优化问题已化成无约束化问题，根据第一章中

2-4）（状态方程）

看作一个变量，则泛函极值存在的必要条件中还应补充一个方程，它就是原约

看作一个可调的向量，可直接把约束方程列入泛函数极值存在的必

应，一个称为状态方程，另一个称为协状态方程，简

的

现着重讨论前两种情况。

,

f

这一情况在各工业应用中是极为常见的。

x

f

，终态的各个分量达到什么值是任意的。在实际问题中，

个伴随

式（2-4）中给出了两组边界条件，即始端和终端的边界条件，故称两点边值问题（英文缩写TPBVP）。两点问题是比较难解的。

以上在推导式（2-4）时，借用了式（1-4）。如果不用式（1-4），而直接对式（2-2）取一次变分，结果相同。注意，式（1-4）正是从式（1-1）所示一次变分推导出的结果。

利用式（2-4）可以看出H函数在最优轨线上的重

要性质：如果H不含t，则在最优轨线上，H是常量。