案例分析：导数

t(天)
● 如何量化陡峭程度呢？
数学地思考，用数量来刻划
形式化的定义，思考的过程被固定下来，形成数学概念
(1)从几何直观到数量刻画
如何刻 画变化 直观描述 的“快” 与慢”？
曲线的 数学对 如何刻画 “陡峭” 象：斜 程度不 “陡峭”程度 率 同
平均变化率
W(kg)
28.5
22.5
7.5
12 24
案例分析:导数
1。导 数 的 概 念
实 际 背 景
平 均 变 化 率
瞬 时 变 化 率
导 数
导 言
数学刻画
平均变化率
教材展开线索
引言：背景与问题



世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所感觉，而有些变化却 让人们发出感叹与惊呼．例如 苏州市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月 19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间， 气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快 了！” 但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18 日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至 超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹． 这是什么原因呢？ 原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”． ● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ ● 这样的数学模型有哪些应用？
甲
乙
图4-1-3
例3 已知函数f(x) = x2，分别计算函数f(x)在下列 区间上的平均变化率． （1）(1，3)； （2）(1，2)； （3）(1，1.1)； （4）(1，1.001)． 例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计算 在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率． （1）(3，1)； （2）(0，5)． 思 考：你能从例4中发现一次函数y = kx + b的平 均变化率有什么特点？
为研究瞬时变化率辅垫，知识增长点
案例1：曲线上一点处的切线
放大：局部以直代曲
● 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线
的直线L呢？
●怎样计算曲线上一点处切线的斜率？
合情推理：割线→切线
想象、逼近、猜想
计算机验证
极限思想的渗透
割 线 斜 率
切 逼近(极限思想) 线 斜 率
案例 2 ：瞬时速度与瞬时加速度 (2)用物理模型说明

导数不仅是一种规则，更是一个过程， 一种重要的思想、一种方法
教材特点
1.不讲极限，但突出了无限逼近的过程
通常，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从 数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这 种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生 很难理解极限的形式化定义。因此也影响了对导数、 定积分本质的理解。 不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直 观形象的方法定义导数、定积分。 ⑴ 通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着 极限的描述性定义)，学生容易理解； ⑵ 所涉及到的数列或函数都很简单，学生容易观察出 其变化趋势。
2.强调几何意义、物理意义
从几何直观、物理意义上理解概念，借助几何 直观、物理意义分析问题、解决问题。 突出了“数形结合”的思想方法.
瞬时速度
平 均 速 度
逼近(极限思想)
瞬 时 速 度
用计算机探索
平均（加）速度→瞬时（加）速度
反复、相同的过程，相似的结果
抽象概括：导数—瞬时变化率
函数 在某 一点 处的 瞬时 变化 率
导数
定义； 几何解释
导数定义
导函数的概念
x=1、 x=2、 …… 处的 导数
x=a
……
处的
导数 是x 的函 数
导 函 数
导数
特殊化
导数的运算

直接用定义求导数
用定义求导数,可以让学生感受到导数是一个过程, 它当然是意义建构的一个重要环节
(2)给出一些特殊函数的导数，建立导 数运算的法则
返璞归真：导数是什么？

导数是曲线的陡峭程度 导数是切线的斜率 导数是即时速度 导数是瞬时变化率 导数是 导数是一个无限逼近的过程，也是一个数学对象， 一个数学概念。
从陡峭程度到平均变化率
在前面的案例中， “气温陡增”的数学意义是什么呢？为了 弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图（以 3月 18日作为 第一天）．
T(℃)
30
C(34, 33.4)
20
B(32, 18.6)
10
2 0 2
wenku.baidu.comA(1, 3.5)
10 20 30 34
容易看出B，C之间的曲线较A， B之间的曲线更加“陡 图4-1-1 峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢．

例3 已知函数f(x) = x2，分别计算函数f(x)在下列区 间上的平均变化率．
(1) (1，3)；(2) (1，2)；(3) (1，1.1)；(4) (1，1.001)．
例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计 算在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率． （1）(3，1)； （2）(0，5)．
图4-1-2
t( 月 )
例1 婴儿从出生到第24个月的 体重变化 ( 如图 ) ，试分别计算 第一年与第二年婴儿体重的平 均变化率． 例2 水经过虹吸管从容器甲 中流向容器乙(如图) ，t秒钟 后容器甲中水的体积为 V (t)=5e0.1t(单位cm3) ， 计算第一个10 秒内V 的平均 变化率．