10结构的动力计算习题解答

则 = 1 48EI 。
m11
5ml 3
l /2
1
l /4
习题习解题解1102.-55((1a))图图
(2) 在质点处施加竖向单位力，体系的位移图和 M1 图分别如习题解 10.5(2).(a)、(b)图所示。
5
1
m
1
0.5/ k1
2
0.5
(a) 位移图
习题解 10.5(2)图
由习题解
10.5(2).(a)图得 1 =
振频率)，其动力系数＝__________。
m 2=2m
y (t)
2
m1=m
y (t)
1
习习题题 1102-.22((88)图)图
(8)
已知习题
10.2(8)图所示体系的第一主振型为
Y
(1)



1 2

，利用主振型
的正交性可求得第二主振型Y(2)= __________。
(9) 习题 10.2(9)图所示对称体系的第一主振型Y (1) = __________，第二主
k1 3EI/ (l /2)2
1
(a) 刚度系数 习题解 10.5(3)图
k2
(b) M1 图
， k1

EI l3
k2

2


3EI
l / 23

48EI l3
则
， k11wk.baidu.com

k1

k2

49EI l3

k11 m
49EI ml 3
(4) 求刚度系数，画 M1 图，如习题解 10.5(4)图所示。
习题解 10.7(1)图 M1 图
(2) 求柔度系数，绘单位力作用下的 MP 图和基本体系 M1 图，如习题解
10.7(2)图所示。
1
1
l
l l/2
(a) M P 图
习题解 10.7(2)图
8
l
l
(b) M1 图
由图乘法公式，可知
11

1 EI
1 2

l

l

2 3
l

l

l

(1 2
l
m 0 0
(6)

0
m
0

。
0 0 3m
(7) 1.5625。根据公式 = 1 计算。
1- 2 2
(8)

1 -0.25

。
(9)
1

-1
，
1 1
。利用对称性。
习题 10.3 确定习题 10.3 图所示质点体系的动力自由度。除注明者外，
10 103
3.525 103 m
习题 10.10 求习题 10.10(a)图所示刚架稳态振动时的最大动力弯矩图和
质点的振幅。已知： FP 2.5k N，
4，EI 2.8104 k N m2 。不考虑阻尼。
3
FP cost EI
5m 1
5m
7.5kN 37.5kN.m
EI 4m
FP sint
W 2m
(a)
9
2m 1
28.2kN.m FP
(b) M1 图
习题 10.9 图
(c) 图 M d.max
【解】在质点处施加竖向单位力，绘 M1 图，如习题 10.9(b)图所示。由 M1
图求得
11

1 EI
1 2
42
2 3

2

1 2
2
2
2 3

振时的动力系数。
【解】阻尼比


1 ln 2 n
y0 yn

1 2
8
ln

2 0.2

0.046
共振时
1 1 10.9 2 2 0.046
习题 10.9 求习题 10.9(a)图所示梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图和质
点的振幅。已知：质点的重量W 24.5kN，FP 10kN， 52.3s1，EI 3.2107 N m2 。不计梁 的重量和阻尼。
因为__________。 (2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期，应从改变体系的__________或
1
__________着手。
(4)
若由式


1

1


2
求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题 10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
， k11

2
3EI l3
k1

7EI l3

k11 m
7EI ml3
k11 1
3EI/ l3
k1
k1
3EI/ l 2
3EI/ l 2
习题解 10.5(4)图 M1 图
(5) 求柔度系数，绘 M1 图，如习题解 10.5(5)图所示。
6
l 1
l
习题解 10.5(5)图 M1 图
， 11
M
2 1
ds
习题N解12
12-7(c)图
l 64

358
1138
EI
EA 3EI 9EA 3EI
T 2
m11 2
1138m 3EI
习题 10.8 某单质点单自由度体系由初位移 y0=2cm 产生自由振动，经过
八个周期后测得振幅为 0.2cm，试求阻尼比及在质点上作用简谐荷载发生共
1 2

0.5 k1

1 3EI
由
M1
图得
2
=

M2 1
EI
ds

4 3EI
1
1m
(b) M1 图
故 ，则 11

1
2

5 3EI
1 3EI
m11
5m
(3) 使质点沿运动方向发生单位位移，求刚度系数，如习题解 10.5(3).(a)、
(b)图所示。
k11 1
3EI/ (l /2)3
(b) M1 图
由两图图乘公式，可知
11

8l 3 15EI
，则


1
m 11
15EI 8ml 3
习题 10.6 求习题 10.6(a)图所示体系的自振频率。除杆件 AB 外，其余
杆件为刚性杆。
m B
EI 0 =∞
2m 2A
2A m
C 6EIA/l3
2A B
l
EI 0 =∞
EI
m
EI 0 =∞
各受弯杆 EI＝常数，各链杆 EA＝常数。
EI 0 =∞
EI
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(d)
(c)
(d)
习习题题121-03图.3 图
【解】(a) 2；(b) 3；(c) 2；(d) 4，在两个质量上分别附加 2 个支杆。
习题 10.4 不考虑阻尼，列出习题 10.4 图所示体系的运动方程。
l l
A

l

6EIA l3

l

0
7
得
12EI 5ml3
习题 10.7 求习题 10.7 图所示体系的自振周期。
m
m
EI 0 =∞
EI
EI
EI
EI
l 6m 3m
l
(1) (a)
EI EI
EA EA
mm EA EA
EI EI EA EA
l
(b) (2)
4m
4m
4m
4m
4m
4m
4m
4m
(c)
(3) 习题习题12-71图0.7 图

1 4
l)

7l 3 12EI
则 T 2 2

m11 2
7ml 3 12EI
(3) 绘体系在竖向单位力作用下的 M1 图及 FN1 图，如习题解 10.7(3)图所 示。
1
-2
2 5/3
5/3 2
0.5
0.5
习题解 10.7(3)图 M1 图和 FN1 图
则
11
即
my
12EI
l3
y

FP
cos t
(3) 用柔度法。绘 M1 图和 MP 图，分别如习题解 10.4(3).(a)、(b)图所示。
由图乘法公式，得
11

2 EI
1 2
l
l

2 3
l


2l 3 3EI
，1P


1 EI
1 2
l
l

l 3


l2 6EI
第 10 章 结构的动力计算习题解答
习题 10.1 是非判断题
(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越
大。（ ）
(2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。（ ）
(3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。（ ）
(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小
A
mE D
A
A
6EIA/l 2
l /2
l
m 2A
(a)
(b)
习题 10.6 图
【解】绘体系的位移幅值图及相应的受力图如习题解 10.6(b)图所示。体
系为两个质点的单自由度体系，可通过列幅值方程求。
沿柱 AB 的顶部切取 BCDE 为隔离体，由 MD 0 得
m 2
A

l 2

2m 2

2 EI
1 2
l
l

2 3
l


2l 3 3EI
= 1 m11
3EI 4ml 3
(6) 求柔度系数，绘单位力作用下的 MP 图和基本体系 M1 图，如习题解 10.5(6).(a)、(b)图所示。
1 l/5
l 4l/5
1 l
l
2l/5
(a) M P 图
习题解 10.5(6)图
振型Y(2)= __________。
m
EI
m
a
a
a
a
习题 122-2(9)图
习题 10.2(9)图
【解】(1) 以重力 mg 作用时的静平衡位置为 y 坐标的起点。 (2) 初位移、初速度及体系的自振频率。 (3) 质量，刚度。 (4) 质点动位移的方向与简谐荷载方向相反。 (5) 阻尼力。
37.5kN.m
5m
k11=12EI/l3
12EI/l3
6EI/l2
1
FPcost
-m y
6EI/l2
(a) M1 图及刚度系数 习题解 10.4(2)图
k11 y (b) 受力图
然后取质点连同横梁为隔离体，其受力图如习题解 10.4(2).(b)图所示。
由 Fx 0 ，得
k11 y my FP cost 0
-2 ml
B
m
m
l 2l
习题解 10.4(1)图
由 MB 0 列动平衡方程得
-ml l m 2l 2l k1l l 0
化简得
5ml2 k1l2 0
(2) 用刚度法。设质点 m 的位移 y 向右为正。先求体系的刚度系数 k11，
如习题解 10.4(2).(a)图所示。
l
k1
EI 0 =∞
l
(1)
m
m
EI 0 =∞ l
FP cost
m EI 0 =∞
EI
(2) 习题 10.4 图
3
m EI
EI M (t) l
(3)
【解】(1)用刚度法。设自由振动的任一时刻 t，刚性杆绕 B 点的转角为
，此时体系受力情况如习题解 10.4(1)图所示。
k1 l k1l
- ml
列位移方程
y

11
my
1PM (t)
，整理得：
y

3EI 2ml 3
y


1 4ml
M
(t)
4
1
1
l
l (a) M1 图
习题解 10.4(3)图
1 (b) M P 图
习题 10.5 求习题 10.5 图所示单自由度体系的自振频率。除注明者外，
EI＝常数。k1 为弹性支座的刚度系数。
m
【解】(1) 求刚度系数，绘体系发生单位水平位移时的 M1 图，如习题解
10.7(1)图所示。则
， 12EI 3EI 15EI
k11
l3
l3
l3
T 2 2 m 2 ml3

k11
15EI
12EI/ l 3
3EI/l 3
1 k11=15EI/l3
6EI/l 2
3EI/l 2
l
l /2 l /2
m
k 1= 3EI/4
2m
2m
(1)
m
k 1=EI /l3
l /2
l /2
l
(2)
m EI 0 =∞
k 1=EI /l3
EI
EI
(3)
(4)
m
m
m
l
l
l
l
l
(5)
(6)
习题 10.5 图
【解】(1)
绘
M1
图，如习题解
10.5(1)图所示。则由图乘法公式，得
11

5l 3 48EI
于其质点个数。（ ）
(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。（ ）
(6) n 个自由度体系有 n 个自振周期，其中第一周期是最长的。（ ）
(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能
用列幅值方程的方法求解。（ ） 【解】(1) 错误。体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所
2

8 EI
则
g 9.8 3.2 107 40s1
W 11
24.5 103 8

1

1

2 2
1

1

52.32 402
1.41
梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图如习题 10.9(c)图所示。质点最大动位
移为
ymax


11FP

1.41

3.2
8 107
c
k
W
FP sint
习习题题121-20(5.2)图(5)图
(6) 求习题 10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI＝常数)，其质量矩阵
[M]= __________。
2m
m
FP sint m
m
习题 10.2(6)图
习题 10.2(7)图
习题 12-2(6)图
习题 12-2(7)图
(7) 习题 10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI＝常数。已知=0.6 (为自
决定。 (2) 错误。由阻尼结构的自振频率r 1 2 可知，阻尼增大使自振频率
减小，自振周期变长。 (3) 正确。 (4) 错误。由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而
与集中质量数目和超静定次数无关。 (5) 正确。 (6) 正确。 (7) 正确。 习题 10.2 填空题 (1) 单自由度体系运动方程为 y 2y 2 y FP(t) / m ，其中未考虑重力，这是