优选梁的强度计算

优选梁的强度计算
第九章 梁的强度和刚度计算
梁的内力：剪力Q、弯矩M 相应应力：剪应力τ、正应力σ 其中τ与Q有关，σ与M有关。
z
QM σ
τ
如图简支梁
A
AC、DB段：横力弯曲（M ，Q） CD段：纯弯曲（M ，Q=0） Q图
本章内容：梁的强度计算问题。 M图
aP C
P
Pa
D
B
P
Pa
第一节 梁横截面上的正应力
e
f
( c)
返回 下一张 上一张
（三）静力学关系：
N d 0 E yd 0 —中性轴Z必通过形心
My
zdA
0
E
zydA
0;
—中性轴是截面的形心主轴
Mz
ydA
M
E
y2dA
M
1 M ;
M
—纯弯曲梁的变形计算公式
Ez
z
M
o
dA
可得正应力计算公式：
My z
y
dN
y
注：为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号 依点所处区域直接判断。
一、梁的正应力强度条件：
max
M max Iz
ymax
令Wz
Iz ; ymax
max
M max Wz
对称截面梁的正应力强
度条件： max
M max Wz
[ ]
非对称截面梁的正应力强度条件：
max
M max Wz
[ ]
返回 下一张 上一张
二、剪应力强度条件：
max
k
Q A
[ ]
返回 下一张 上一张
例9-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大
拉、压应力。
3.0kN m
P=1.5kN
C
解：（1）计算弯矩M C 、惯性矩IZ
200
M c 2P 3KN m,
Iz
bh3 12
5830 cm4
18 33
12
a
ob
x
y
单位：cm
（2）求a、b两点的正应力
a
Q图
2.求K点剪应力：
B
K
o
z
y
3kN
k
QASz zb
3103 236103 2810104 10101
0.252MPa
3.求最大剪应力：
m
ax
1.5
Q A
1.5 3103 15 10 102
0.3MPa
返回 下一张 上一张
例9-4 倒T形截面外伸梁如图,已知：l=600mm，b=30mm，
z
max
Q Sz Iz b
15103 77800 6.79MPa 573104 30
在中性轴上。
返回 下一张 上一张
第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。
等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
二、正应力公式的推导： （一）变形几何关系： 取梁微段dx考虑变形几何
关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
e
ef
f
e
f
e
d x (a)
f
中性层
z
x
中性轴
y ( b)
（二）物理关系：
ρ dθ
由假设2及虎克定律，梁横截 面上的正应力变化规律为：
y
ef
dx o1
o2
M
a
b
E E y
max
2
Q A2
返回 下一张 上一张
例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm，
h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最
大剪应力。
q
b
h
yc h1
解：1.求剪力：QA=3kN
A l
z
wenku.baidu.com
bh3 12
10 153
12
2810cm4
3kN
Sz * yc 10 4.5 5.25 236cm3
p=60KN=P
94
10.7
解：（1）求D截面MD A
C
B D
MD=30kN.m
0.5m
1m 0.5m
（2）查表求IZ
IZ=1660cm4
M图 3.0kN m
（3）求D截面a、b两点的正应力
180
a
z
b
y 截面尺寸单位:mm
10.7
ya
yb
180 2
10.7
79.3mm
a
M D ya Iz
143.3MPa
M c ya Iz
3.09 MPa, b
M c yb Iz
1.54 MPa
（3）求C截面最大拉应力σ＋max和最大压应力σ－max
max
M c ymax Iz
4.63MPa
m
a
x
（在截面上下边缘）
返回 下一张 上一张
例9-2 18号工字钢制成的简支梁如图示，求D截面上a、b两点处
的正应力。
材料的许用剪应力，试
验确定。
三、梁的强度计算：
(1)强度校核: max 105% max 105%
(2)选择截面:
Wz
M max
d , b(截面尺寸取整！）
b
返回 下一张 上一张
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
Izb
τ沿截面高度按抛物线规律变化：
Q 2Iz
(h2 4
y2)
6Q bh3
(h2 4
y2)
y
h ,
2
0; y
0, max
6Qh2 4bh3
3 2
Q bh
τmax
h
τmax
max
3 2
Q A
3
2
（ 平均剪应力）
返回 下一张 上一张
二、其它形状截面的剪应力：
1. 工字形截面梁： 上翼缘 1)腹板上的剪应力：承担截面绝大部
分剪应力，中性轴处有最大剪应力： 腹板
max
QS z m ax zd
或 max
Q h1d
下翼缘
y h1
A δa
Kz
τd z
K
δa
τmin τmax
2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分 布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间 存在“剪应力流”的规律。
P1=24kN，P2=9kN，y1=72mm，Iz=573cm4，试求梁横截面上的最
大剪应力。
解：1. 求最大剪力：
A
Qmax＝15kN CB梁段
Sz
A*
yo
1 2
by12
77800mm2
2. 求最大剪应力：
P1 =24kN
C
l/2
l/2
9kN
Q 15kN
P2 =9kN
B
D
l/3
9kN
y2 y1
b
A
水平
QS z
I z o
返回 下一张 上一张
2. T字型截面： T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力
仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为：
QS
* z
Izd
3. 圆形及环形截面：
圆形与薄壁环形截面最大竖向剪应力也都发生 在中性轴上，沿中性轴均匀分布，其值为：
圆形截面
max
4 3
Q A1
薄壁环形截面
z
一、实验观察与分析：
o
①横线仍为直线,倾斜角度d
x
(a)
y
②纵线由直变弯, 与横线正交 g
ef
g
③上部变宽，下部变窄
k
k
ef
假设：①平面假设
Mg
(b) ef
gM
h
b oc
z y
②单向受力假设
k
M
中性层—长度不变的纤维层
中性轴—中性层与横截面的交线
ef 中性层
(c)
k
z
M
y
zx
中性轴
y
返回 下一张 上一张