数学分析第2章 数列极限

有 xn 1 成立.
如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：n
1
，取
N
[1] 1
即可。这样
0,
当
nN
时，(1
(1) n1 ) 1
n
1 n
综上所述，数列 {1
(1)n1 } n
的通项1
(1) n1 n
。
随n的无限增大，1
(1) n1 n
无限接近于１
定义1 设an 为数列, ,a为实数,若对任给的正数 , 总存在正整数N,使得当 n N 时有
当0 q 1时,记h 1 1,则h 0 q
我们有
qn 0
qn
1 (1 h)n
1 1 nh
1 nh
故对任给 0,只要取N [1h] 1,当n N时,有 qn 0 1
nh 即 lim qn 0
n
例4 证明lim n a 1.(a 0) n 1
证 a 1, 记n a n 1,则n 0
xn 1
(1)n1 1 1 nn
给定 1 ，由 1 1 , 只要 n 100时,
100 n 100
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
愈小, N愈大, N满足要求,大于N的一切正数都可作N;
如
1 n
0
1 1
n 100
n 100 N ,
n 200 N n 301 n也可以;
这里重要的是N的存在性, 而不在于它的值的大小, 其次
定义中n N也可改成n N,且N为正整数可改N为正数
• N 随 变化， 但并不唯一，N 重要在于证明
1) 的任意性与相对固定性 愈小, an与a愈接近; 一旦给出,就相对固定,以便找N; 任意: ,2 , 2,,同样任意;
2
定义中an a 可改成an a .
• 刻画了数列在n趋于无穷时与某一常数之间的接近
•程度；可以限定其小于任意的给定正数。
2) N的相应性
N依赖于 ,但不是由 唯一确定,
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
1
由a (1 n )n 1 nn 1 n(a n 1)
得0
1
an
1
a
1
n
任给 0,
取N [a 1] 1,
1
则当n N时(即n a1), a n 1 ,
故 lim n a 1. n
0 a 1 时,b 1 1 a
n a 1 n b 1 n b 1
nb
n
N
b
1
4 关于“ N”定义的几点说明
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列 数，而 是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；
若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N ，则称
| an a | , 则称数列an 收敛于a, 实数a称为数列 an 的极限,
并记作
.
lim
n
an
a
或
an a(n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
3、通过 “ N ”定义证明数列极限
要证明：lim n
an
a
，关键是对 0 ，
解不等式 an a
找 n 的存在范围，进而确定N。
数学分析第2章 数列极限
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣” ——刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
f : N R为数列。数列也可记为 f (n), n N ；记 f (n) an 。
数列f (n) 就可写作为：a1, a2 , , an ,
简记为 an
，
2,4,8,,2n ,; {2n }
例如
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{
1 2n
}
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
•其存在性。
3)几何解释:
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
a 2 a x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
证 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, 任给 0,
要使 xn 0 qn , 即nln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
Pr oof :当q 0时,显然;
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面的观察：
当
n
无限增大时
,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
n无限增大时, xn无限接近于x,即是说: n无限增大时, xn x 可无限小.
例2
证明
lim
n
3n2 n2 3
3.
证
xn
3
3n2 n2 3 3
9 n2 3
9 n
(n 3)
任给 0,
要 xn 3 ,
只要9 ,
n
或n 9 ,
所以, 取N max{3, 9}, 则当n N时,
xn 3 ,
即lim n
3n2 n2 3
3.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
1）直接解不等式 an a
例1wk.baidu.com
证明
lim
n
1 nk
0.(k为正数)
证
xn
0
1 nk
0
1 nk
任给
所以,取N
0, 要 xn 0 ,
[
1
1
] 1, 则当n
k
只要 1 nk
N时,
,
xn
或n
0
1 1,
k
,
即
lim
n
1 nk
1.
2） 通过适当放大 an a (n) ，解不等式 (n) 。