直线与圆锥曲线的位置关系.ppt

1 2
44
解：y ax 1与3x2 - y2 1 联立得：
（3 - a2）x2 - 2ax - 2 0
x1 +x2
2a 3-a2
x1 x2
2 3-a
2
y1 • y2 (ax1 1) (ax2 1) a2 x1x2 a( x1 x2 ) 1
1
uuur uuur 由OA OB x1 • x2 y1 • y2 0
P M
Ｏ
x
N
x1
x2
8k 2k 2 1
又Q
x2
=
5 3
x1
解得：k 2
x1 x2
6 2k 2 1
L : y 2x 2
例11.
P M
Ｏ
x
N
例12. 过焦点F（2, 0）的直线L与抛物线 y2 = 8x交于A，B两点。
且|AF|=2|BF|，求直线L的方程。
yA
解：设AB 的方程为ｘ=mｙ＋2 联立y2=8x
k
k
16 yP yC k 16
又 yP 4
yC
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4 k
4
同理设PD方程为：y k(x 4) 4
可得yD
4 k
4
kCD
yD yC xD xC
yD yC yD2 yC2
4 yD yC
1 2
44
练习7.
解：①E：x2 + y2 =1 2
y
CN
B ＯA
x
M
例8. 过点M（6, 0）的直线L与抛物线 y2 = 6x交于A，B两点。
A
B
F
O
x
C
AC
x1 x2
p
2k 2 4 k2
2
4 k2
4
D
同理设BD方程为：y 1 (x 1) 可得：BD 4k 2 4
k
S
1 2
| AC
| | BD
|
1（ 4 2 k2
4）（ 4k 2
4）
（ 8
1 k2
k2
2） 32
2.过抛物线 y2=4x 上一点 P（4，-4）作两条直线 P C 和 P D ，
得：a 1
若点A、B都在双曲线的右支上，求 a 的取值范围。
解：y ax 1与3x2 - y2 1 联立得：
（3 - a2）x2 - 2ax - 2 0
3 a2 0
=4a2 8(3 a2 ) 0
x1 +x2
2a 3-a 2
0
x1 x2
2 3-a 2
0
得：a ( 6, 3)
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
y B2
a2 b2 c2 2ac 0
A1
Ｏ F2
x
2a2 2c2 2ac 0
a2 c2 ac 0
2
|PF1| | F1F2 |=2c |PF2| 2 2c
2c+2 2c=2a
解得：e
c a
2 1
y
P
F1
F2
x
Q
y
P
F1
F2
x
Q
1
练习6 抛物线y2=4x上的一点M到 准线距离为d1, 到直线y=2x+3 距离为d2,试求d1 +d2的最小值.
3
解：设A、B中点为M(x0 , y0 ) 若A、B关于y 2x对称，则
y ax 1的斜率a - 1 2
即直线AB ：y - 1 x 1 2
与3x2 - y2 1 联立得： 11 x2 x - 2 0 4
x1 +x2
4 11
2
12
x0
11
y0 11
经检验：M( 2 , 12 )不在y 2x上 11 11
得y2－8mｙ－16＝０
\ y1? y2 - 16 y1 +y2 =8m
又Q y1 = - 2y2
解得： m= ± 2
4
∴AB 的方程为
x= ? 2 y 2 4
O
F
x
B y2=8x
l
yB
O
F
x
A y2=8x
l
例12. 过焦点F（2, 0）的直线L与抛物线 y2 = 8x交于A，B两点。
且|AF|=2|BF|，求直线L的方程。
yA
解：设AB 的方程为ｘ=mｙ＋2 得y2－8mｙ－16＝０
联立y2=8x
O
F
x
B y2=8x
l
yB
O
F
x
A y2=8x
l
2．过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作互相垂直的弦 A C 和 B D ，
求四边形 A B C D 的面积的最小值。
解:设AC的方程为 y=k(x-1)
联立y2 4 x, 得k 2 x2 (2k 2 4) x k 2 0,
可得yD
4 k
4
kCD
yD yC xD xC
yD yC yD2 yC2
4 yD yC
1 2
44
2.过抛物线 y2=4x 上一点 P（4，-4）作两条直线 P C 和 P D ，
分别交抛物线于 C 、D 两点。P C 、P D 关于直线 x=4 对称。
求证：直线 C D 的斜率为定值。
解： d1 +d2 =|MF| +d2 即 d1 +d2的最小值为 5 .
例9.
练习10.
过点P(0,2)的直线与椭圆 x2 + y 2 = 1 2
uuur 交与M,N两点。 PN =
5
uuur PM
3
求直线L得方程。
解：设直线l为：y = kx + 2 联立：x 2 + y 2 = 1
2
得：(2k 2 1)x2 8kx 6 0
2 3c + 4 3c =2a
3
3
解得：e c 3
a
3
y
P
F1 Ｏ F2
x
Q
若弦AB过点（2p，0），则 OA⊥OB.
(2) | y1 y2 | ( y1 y2 )2 4 y1 y2 36m2 144
SOAB
1 g6g 2
36m2 144
3
36m2 144
m 0时，SOAB最大为36.
2
|F1F2 | 2c
|PF1|
2
3c 3
|PF2 |
4
3c 3
不存在a使点A、B关于y 2x对称。
2.过抛物线 y2=4x 上一点 P（4，-4）作两条直线 P C 和 P D ，
分别交抛物线于 C 、D 两点。P C 、P D 关于直线 x=4 对称。
求证：直线 C D 的斜率为定值。
解:设PC的方程为 y=k(x-4)-4
联立y2 4 x,
得y2 4 y 16 16 0,
解:设PC的方程为 y=k(x-4)-4
联立y2 4 x,
得y2 4 y 16 16 0,
k
k
16 yP yC k 16
又 yP 4
yC
4 k
4
同理设PD方程为：y k(x 4) 4
可得yD
4 k
4
kCD
yD yC xD xC
yD yC yD2 yC2
4 yD yC
分别交抛物线于 C 、D 两点。P C 、P D 关于直线 x=4 对称。
求证：直线 C D 的斜率为定值。
解:设PC的方程为 y=k(x-4)-4
联立y2 4 x,
得y2 4 y 16 16 0,
k
k
16 yP yC k 16
又 yP 4
yC
4 k
4
同理设PD方程为：y k(x 4) 4
1.求证：OA⊥OB，
yA
2. 求△AOB面积的最小值；
O
证明：(1)设AB 的方程为ｘ=mｙ＋6 联立y2=6x
得y2－6mｙ－36＝０
y1 • y2 36
x1 • x2
1 6
y12
g1 6
y22
36
uuur uuur
OA OB x1 • x2 y1 • y2 0
M
B
l
x
y2=6x