函数的单调性与导数的关系

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2) f ( x ) = x 3 − x 2 − x
小结： 小结：
1、函数单调性与其导数的正负关系； 、函数单调性与其导数的正负关系； 2、导数法求单调区间的基本步骤； 、导数法求单调区间的基本步骤； 3、数形结合思想、转化思想。 、数形结合思想、转化思想。
课后练习及作业： 课后练习及作业：P101 , 3、4。 、 。
判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 例1 : 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
(1) f ( x) = x 3 + 3x; (2) f ( x) = 2 x3 + 3x 2 − 12 x + 1; (3) f ( x) = x − 2 x − 3;
2
(4) f ( x) = sin x − x, x ∈ (0, π ).
()
()
y = x2 y
o （1）
y
y
y=x
o x
Baidu Nhomakorabea
y = x3 x
y
1 y= x
x
o
x
o （2）
（3）
（4）
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间（a,b）内， 在某个区间（ ） 如果 f 如果 f
'
'
(x) > 0
(x ) <
点评： 点评：
1、方法：定义法和导数法，优先选择导数法。 、方法：定义法和导数法，优先选择导数法。 2、导数法求单调区间的基本步骤：1）求导函数； 、导数法求单调区间的基本步骤： ）求导函数； f ' ( x) > 0 和 f ' ( x) < 0 ；3）写出单调区间。 2）解 ） ）写出单调区间。 3、单调区间不能合并。 、单调区间不能合并。 4、端点有意义时，单调区间为闭区间。 、端点有意义时，单调区间为闭区间。
练习： 练习：
' 1、函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数 f ( x )的 、函数 的图象如图所示， 的图象如图所示 图象的大致形状。 图象的大致形状。
y
o
1
2
3
4 5
x
2、判断下列函数的单调性，并求单调区间。 、判断下列函数的单调性，并求单调区间。
1) f ( x) = x − 2 x + 4
f ' ( x) = 2 x − 2 = 2( x − 1). 当f ' ( x) > 0,即x > 1时，函数f ( x) = x 2 − 2 x − 3单调递增； 当f ' ( x) < 0,即x < 1时，函数f ( x) = x 2 − 2 x − 3单调递减。
(4)因为f ( x) = sin x − x, x ∈ (0, π ), 所以 f ' ( x) = cos x − 1 < 0. 因此，函数f ( x) = sin x − x在x ∈ (0, π )内单调递减.
单调递增； 当 x > 4, 或 x < 1时， f ' ( x ) < 0, 可知 f ( x )在这两 个区间内单调递减； 当 x = 4, 或 x = 1时， f ' ( x ) = 0, 这两点比较特殊， 我们称它为“临界点” 。
y
y = f (x)
y
o 1
4
x
o 1
4
x
点评： ）数形结合思想、转化思想； 点评：1）数形结合思想、转化思想； 2）临界点为单调区间的分水岭。 ）临界点为单调区间的分水岭。
的下列信息： 例2：已知导函数 f ' ( x) 的下列信息： ：
当1 < x < 4时，f ( x) > 0;
'
当x > 4, 或x < 1时，f ' ( x) < 0; 当x = 4, 或x = 1时，f ' ( x) = 0. 试画出函数f ( x)图像的大致形状。
解： 1 < x < 4时， f ' ( x ) > 0, 可知 f ( x )在此区间内 当
在这个区间内单调递增； ，那么函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递增；
0 ，那么函数 y
= f (x ) 在这个区间内单调递减。 在这个区间内单调递减。
升华： 升华：
1、研究函数的单调性时有两种方法：定义法、导数法。 、研究函数的单调性时有两种方法：定义法、导数法。 2、结论中的区间，即为单调区间。 、结论中的区间，即为单调区间。
解： 因为f ( x) = x3 + 3x, 所以 (1) f ( x) = 3x + 3 = 3( x + 1) > 0.
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因此，函数f ( x) = x3 + 3x在x ∈ R上单调递增. ∴ 其单调递增区间为（-∞，+∞）。
(2)因为 f ( x ) = 2 x + 3 x − 12 x + 1, 所以
淄博实验中学： 淄博实验中学：亓德明
观察： 观察：
h
h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t + 10
v
o a o a b t
b
t
通过观察图像，我们可以发现： 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间 的 ） 运动员从起跳到最高点，离水面的高度 随时间t的 随时间 v ( t ) = h' ( t ) > 0 增加而增加， 是增函数。相应地， 增加而增加，即 h(t )是增函数。相应地， （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 的 ） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间t的 随时间 v t = h' t > 0 增加而减小， 是减函数。相应地， 增加而减小，即 h(t ) 是减函数。相应地，
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f ( x ) = 6 x + 6 x − 12.
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当 f ' ( x ) > 0, 即x>1或x<-2时，函数 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 1单调递增; 当 f ' ( x ) < 0, 即-2<x<1时，函数 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 1单调递减 . (3)因为f ( x) = x 2 − 2 x − 3, 所以