计算第一型曲线积分

1. 计算第一型曲线积分:
(1)⎰+L
ds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。

L=OA+AB+BO ，又
OA ：010
x x x y =⎧≤≤⎨=⎩ AB ：011x x
x y x =⎧≤≤⎨=-⎩
BO ：001x y y y =⎧≤≤⎨
=⎩ 解：⎰+L
ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO ds y x )( =
.212101010+=++⎰⎰⎰dy y dx dx x (2)⎰+L ds y x 2
122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为：
)22.(sin ,cos πθπθθ≤≤-
==R y R x 解：⎰+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθπ
π=⎰- .(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆122
22=+b
y a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆122
22=+b
y a x 在第一象限中的部分表示为:
0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-=
从而 ⎰L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-⎰
=dx x a a x b x a x a b a
)
(122222220-+-⎰ =⎰+-a dx x a
b x a a b 02222
222
=⎰--a dx x b a a a b 0222242)(2 =)
(3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆122
22=+b
y a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ
=⎧≤≤⎨=⎩ (4) ⎰L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ;
解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而
⎰
L ds y =4sin sin 20=-⎰⎰πππθθθθd d . (5) ⎰++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;
解：
⎰++L ds z y x )(222=222222222202)43(3
2)(b a b a dt b a t b a ++=++⎰πππ. (6) ⎰L xyzds ,其中L 是曲线)10(2
1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：⎰L xyzds =dt t t t t t 223102121232++⋅⋅⎰ =
.143216)1(32102/9=+⋅⎰dt t t (7)ds z y L ⎰+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆.
分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆⎩
⎨⎧=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2
π≤≤===t t a z t a
y x 解：ds z y L ⎰+222=.2cos sin 2202222ππ
a dt t a t a a =+⎰
注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。

2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量,设其线密度为a
z 2=ρ. 分析：根据第一型曲线积分的物理意义L M ds ρ=⎰
解： 曲线质量为:
⎰=L ds a
z M 2=dt t a a t ⎰+10222=).122(3)1(122102-=++⎰a t d t a 3. 求摆线)0()cos 1(),sin (π≤≤⎩
⎨⎧-=-=t t a y t t a x 的重心,设其质量分布是均匀的. 分析：设摆线的密度为0ρ，先求出摆线的质量，再求出它的重心
解： 因为
.2
sin 2sin )cos 1(2222dt t a dt t a t a ds =+-= 所以质量.42
sin 2000ρρπa dt t a M ==⎰故重心坐标为 001(sin )2sin 2
t y a t t a dt M πρ=-⎰ =dt t t a dt t t a 2
sin sin 22sin 200⎰⎰-ππ =.3
4)2cos 23(cos 42cos |2cos 000a dt t t a dt t a t at =-++-⎰⎰πππ 001(cos )2sin 2
t x a t t a dt M πρ=-⎰ =.3
4)2sin 23(sin 42sin 200a dt t t a dt t a =--⎰⎰ππ 4. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示,试给出计算
⎰L ds y x f ),(的公式,并用此公式计算下列曲线积分: (1)ds e L y x ⎰+22,其中L 为曲线)40(πθρ≤
≤=a 的一段; (2) ds x L ⎰,其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分.
分析：先将L 的极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示为直角坐标：
L ：12()cos ()sin x y ρθθ
θθθρθθ=⎧≤≤⎨=⎩
解 ：因L 的参数方程为)(sin )(,cos )(21θθθθθρθθρ≤≤==y x ,从而
.)()()()(
2'222θθρθρθθθd d d dy d dx ds +=+= 故 ⎰L ds y x f ),(
=θθρθρθθρθθρθθd f )()()sin )(,cos )((2221'+⋅⎰. (1) ds e L
y x ⎰+22=.40240a a e a d a e πθπ=+⎰ (2) ds x L ⎰=θθθθθθθθd e k a d e x a e a ae k k k k cos 1cos 022*******
⎰⎰∞-∞-+=+⋅. 记θθθd e I k cos 02⎰∞-=,则
I k k d k e I k 20
242sin 2sin -=-=⎰∞-θθθθθ
于是1422+=k k I ,故L xds =⎰5. 证明:若函数),(y x f 在光滑曲线[]βα,),(),(:∈==t t y y t x x L 上连续,则存在点
L y x ∈),(00,使得,),(),(00L y x f ds y x f L
∆=⎰ 其中L ∆为L 的弧长.
分析：先将第一型曲线积分转化为定积分即：
⎰
L ds y x f ),(=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22.再利用推广的定积分第一中值定理 证： 由于f 在光滑曲线L 上连续,从而曲线积分⎰L ds y x f ),(存在,且
⎰L ds y x f ),(=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα
)()())(),((22. 又因f 在L 上连续,L 为光滑曲线,所以
)](),([t y t x f 与)()(22t y t x '+'在[]βα,上连续且)()(22t y t x '+'非负（不变号），由推广的定积分第一中值定理:],[0βα∈∃t 使
[(),(f x t y t βα⎰ =L t y t x f dt t y t x t y t x f ∆⋅='+'⎰)](),([)()()](),([002200βα.
令),(),(0000t y y t x x ==显然()L y x ∈00,,且
L y x f ds y x f L ∆=⎰),(),(00.。