计算第一型曲线积分

1. 计算第一型曲线积分:

(1)⎰+L

ds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。

L=OA+AB+BO ，又

OA ：010

x x x y =⎧≤≤⎨=⎩ AB ：011x x

x y x =⎧≤≤⎨=-⎩

BO ：001x y y y =⎧≤≤⎨

=⎩ 解：⎰+L

ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO ds y x )( =

.212101010+=++⎰⎰⎰dy y dx dx x (2)⎰+L ds y x 2

122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为：

)22.(sin ,cos πθπθθ≤≤-

==R y R x 解：⎰+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθπ

π=⎰- .(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆122

22=+b

y a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆122

22=+b

y a x 在第一象限中的部分表示为:

0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-=

从而 ⎰L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-⎰

=dx x a a x b x a x a b a

)

(122222220-+-⎰ =⎰+-a dx x a

b x a a b 02222

222

=⎰--a dx x b a a a b 0222242)(2 =)

(3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆122

22=+b

y a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ

=⎧≤≤⎨=⎩ (4) ⎰L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ;

解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而

⎰

L ds y =4sin sin 20=-⎰⎰πππθθθθd d . (5) ⎰++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;

解：

⎰++L ds z y x )(222=222222222202)43(3

2)(b a b a dt b a t b a ++=++⎰πππ. (6) ⎰L xyzds ,其中L 是曲线)10(2

1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：⎰L xyzds =dt t t t t t 223102121232++⋅⋅⎰ =

.143216)1(32102/9=+⋅⎰dt t t (7)ds z y L ⎰+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆.

分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆⎩

⎨⎧=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2

π≤≤===t t a z t a

y x 解：ds z y L ⎰+222=.2cos sin 2202222ππ

a dt t a t a a =+⎰

注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。 2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量,设其线密度为a

z 2=ρ. 分析：根据第一型曲线积分的物理意义L M ds ρ=⎰

解： 曲线质量为:

⎰=L ds a

z M 2=dt t a a t ⎰+10222=).122(3)1(122102-=++⎰a t d t a 3. 求摆线)0()cos 1(),sin (π≤≤⎩

⎨⎧-=-=t t a y t t a x 的重心,设其质量分布是均匀的. 分析：设摆线的密度为0ρ，先求出摆线的质量，再求出它的重心

解： 因为

.2

sin 2sin )cos 1(2222dt t a dt t a t a ds =+-= 所以质量.42

sin 2000ρρπa dt t a M ==⎰故重心坐标为 001(sin )2sin 2

t y a t t a dt M πρ=-⎰ =dt t t a dt t t a 2

sin sin 22sin 200⎰⎰-ππ =.3

4)2cos 23(cos 42cos |2cos 000a dt t t a dt t a t at =-++-⎰⎰πππ 001(cos )2sin 2

t x a t t a dt M πρ=-⎰ =.3

4)2sin 23(sin 42sin 200a dt t t a dt t a =--⎰⎰ππ 4. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示,试给出计算

⎰L ds y x f ),(的公式,并用此公式计算下列曲线积分: (1)ds e L y x ⎰+22,其中L 为曲线)40(πθρ≤

≤=a 的一段; (2) ds x L ⎰,其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分.

分析：先将L 的极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示为直角坐标：

L ：12()cos ()sin x y ρθθ

θθθρθθ=⎧≤≤⎨=⎩

解 ：因L 的参数方程为)(sin )(,cos )(21θθθθθρθθρ≤≤==y x ,从而

.)()()()(

2'222θθρθρθθθd d d dy d dx ds +=+= 故 ⎰L ds y x f ),(