东北大学离散数学试卷及答案
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.
一、填空 20% (每小题2分)
1、 P :你努力,Q :你失败。“除非你努力,否则你将失败”的翻译为
;“虽然你努力了,但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P
则公式),(x y yP x ∃∀真值为 。 2、 设S={a 1 ,a 2 ,…,a 8},B i 是S 的子集,则由B 31所表达的子集是 。
3、 设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则R=
(列举法)。
R 的关系矩阵M R =
。
5、设A={1,2,3},则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ;
A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统,其中A={a ,b ,c},
则幺元是 ;是否有幂等
性 ;是否有对称性 。
7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨)(())(( 的根树表示为
。
二、选择 20% (每小题2分)
1、在下述公式中是重言式为( )
A .)()(Q P Q P ∨→∧;
B .))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔;
C .Q Q P ∧→⌝)(;
D .)(Q P P ∨→ 。
2、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为( )。
A .0;
B .1;
C .2;
D .3 。
3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S
2 有( )个元素。
A .3;
B .6;
C .7;
D .8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ⨯上的等价关系
},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产 生的
S S ⨯上一个划分共有( )个分块。
A .4;
B .5;
C .6;
D .9 。
5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为
则R 具有( )性质。
A .自反性、对称性、传递性;
B .反自反性、反对称性;
C .反自反性、反对称性、传递性;
D .自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法和乘法,则( )>+<ο,,S 是域。 A .},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B .},,2|{Z b a n x x S ∈==
C .},
12|{Z n n x x S ∈+== D .}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。
7、下面偏序集( )能构成格。
8、在如下的有向图中,从V 1到V 4长度为3 的道路有( )条。
A .1;
B .2;
C .3;
D .4 。 9、在如下各图中( )欧拉图。
10、设R
是实数集合,“⨯”为普通乘法,则代数系统
A .群;
B .独异点;
C .半群 。
三、证明 46%
1、 设R 是A 上一个二元关系,
)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明若R
是A 上一个等价关系,则S 也是A 上的一个等价关系。(9分)
2、 用逻辑推理证明:
所有的舞蹈者都很有风度,王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。(11分)
3、 若B A f →:是从A 到B 的函数,定义一个函数A
B g 2:→ 对任意B b ∈有
)})(()(|{)(b x f A x x b g =∧∈=,证明:若f 是A 到B 的满射,则g 是从B 到 A 2 的
单射。(10分)
4、 若无向图G 中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定连通。(8分)
5、 设G 是具有n 个结点的无向简单图,其边数2)2)(1(2
1
+--=
n n m ,则G 是Hamilton 图(8分)
四、计算 14%
1、 设
2、 权数1,4,9,16,25,36,49,64,81,100构造一棵最优二叉树。(7分)
一、填空20%(每小题2分)
1、Q
P→
⌝;Q
P∧2、T 3、}
,
,
,
,
{
8
7
6
5
4
00011111
31
a
a
a
a
a
B
B=
=4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,
3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>};
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>};
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 6、a ;否;有7、Klein四元群;循环群8、B 9、)1
(
2
1
-
n
n;
图中无奇度结点且连通10 、
二、
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案B、D D;D D B D A B B B B、C
三、证明46%
1、(9分)
(1)S自反的
A
a∈
∀,由R自反,)
,
(
)
,
(R
a
a
R
a
a>∈
<
∧
>∈
<
∴,S
a
a>∈
∴<,
(2)S对称的
传递
对称
定义
R
S
a
b
R
R
b
c
R
c
a
S
R
b
c
R
c
a
S
b
a
A
b
a
Λ
Λ
Λ
>∈
⇒<
>∈
<
∧
>∈
<
⇒
>∈
<
∧
>∈
<
⇒
>∈
<
∈
∀
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
,
(3)S传递的