东北大学离散数学试卷及答案

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.

一、填空 20% (每小题2分)

1、 P :你努力,Q :你失败。“除非你努力,否则你将失败”的翻译为

;“虽然你努力了,但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P

则公式),(x y yP x ∃∀真值为 。 2、 设S={a 1 ,a 2 ,…,a 8},B i 是S 的子集,则由B 31所表达的子集是 。

3、 设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则R=

(列举法)。

R 的关系矩阵M R =

5、设A={1,2,3},则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ;

A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统,其中A={a ,b ,c},

则幺元是 ;是否有幂等

性 ;是否有对称性 。

7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。

9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨)(())(( 的根树表示为

二、选择 20% (每小题2分)

1、在下述公式中是重言式为( )

A .)()(Q P Q P ∨→∧;

B .))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔;

C .Q Q P ∧→⌝)(;

D .)(Q P P ∨→ 。

2、命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为( )。

A .0;

B .1;

C .2;

D .3 。

3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S

2 有( )个元素。

A .3;

B .6;

C .7;

D .8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ⨯上的等价关系

},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产 生的

S S ⨯上一个划分共有( )个分块。

A .4;

B .5;

C .6;

D .9 。

5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为

则R 具有( )性质。

A .自反性、对称性、传递性;

B .反自反性、反对称性;

C .反自反性、反对称性、传递性;

D .自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法和乘法,则( )>+<ο,,S 是域。 A .},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B .},,2|{Z b a n x x S ∈==

C .},

12|{Z n n x x S ∈+== D .}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。

7、下面偏序集( )能构成格。

8、在如下的有向图中,从V 1到V 4长度为3 的道路有( )条。

A .1;

B .2;

C .3;

D .4 。 9、在如下各图中( )欧拉图。

10、设R

是实数集合,“⨯”为普通乘法,则代数系统 是( )。

A .群;

B .独异点;

C .半群 。

三、证明 46%

1、 设R 是A 上一个二元关系,

)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明若R

是A 上一个等价关系,则S 也是A 上的一个等价关系。(9分)

2、 用逻辑推理证明:

所有的舞蹈者都很有风度,王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。(11分)

3、 若B A f →:是从A 到B 的函数,定义一个函数A

B g 2:→ 对任意B b ∈有

)})(()(|{)(b x f A x x b g =∧∈=,证明:若f 是A 到B 的满射,则g 是从B 到 A 2 的

单射。(10分)

4、 若无向图G 中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定连通。(8分)

5、 设G 是具有n 个结点的无向简单图,其边数2)2)(1(2

1

+--=

n n m ,则G 是Hamilton 图(8分)

四、计算 14%

1、 设是一个群,这里+6是模6加法,Z 6={[0 ],[1],[2],[3],[4],[5]},试求出

的所有子群及其相应左陪集。(7分)

2、 权数1,4,9,16,25,36,49,64,81,100构造一棵最优二叉树。(7分)

一、填空20%(每小题2分)

1、Q

P→

⌝;Q

P∧2、T 3、}

,

,

,

,

{

8

7

6

5

4

00011111

31

a

a

a

a

a

B

B=

=4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,

3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>};

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>};

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 6、a ;否;有7、Klein四元群;循环群8、B 9、)1

(

2

1

-

n

n;

图中无奇度结点且连通10 、

二、

题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案B、D D;D D B D A B B B B、C

三、证明46%

1、(9分)

(1)S自反的

A

a∈

∀,由R自反,)

,

(

)

,

(R

a

a

R

a

a>∈

<

>∈

<

∴,S

a

a>∈

∴<,

(2)S对称的

传递

对称

定义

R

S

a

b

R

R

b

c

R

c

a

S

R

b

c

R

c

a

S

b

a

A

b

a

Λ

Λ

Λ

>∈

⇒<

>∈

<

>∈

<

>∈

<

>∈

<

>∈

<

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

,

(3)S传递的

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