均匀化理论和多尺度方法

Toledano和Murakami，Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地 把有限元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。 在这些研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了 全局的响应，同时借助局部应力和应变场的描述得到了微结构的行为。
3
6.2 多尺度模型
x,
y
0
y
j
O 1 :
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
0
x
y
j
j
O 0
:
0 ij
x,
x
y
1 ij
x,
y
y
fi
0
j
j
O 1 :
1 ij
x,
y
2 ij
x,
y
0
x
y
j
j
（1） （2） （3）
y
1
1 ij
x,
y
wenku.baidu.com
0 ij
x,
y
1
0 ij
x,
y
x j
y j
x j
y j
1 ij
x,
y
1
1 ij
x,
y
2
2 ij
x,
y
1
2 ij
x,
y
L
x j
y j
x j
y j
fi 0
10
6.3 渐进展开法
令 εi (i=-2,-1,0,1…) 的系数为零，得到一系列控制方程：
O 2 :
1 ij
f
u
t
☺☺☺
x
☺☺☺
☺☺☺
☺y
一具有周期性结构的复合材料弹性体 Ω，受体力f，边界 Γt 上受表面力t，边界 Γu 上给定位移边界条件。宏观某点 x 处的细 观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成。
单胞的尺度 y 相对于宏观几何尺度为小量。
4
6.2 多尺度模型
宏观尺度：
x
0
1
2
3
4
微观尺度： 01234
y=x/ε 0 1
例如：宏观尺度为 m，微观尺度为 nm，ε = 10-9
实际为 1m 的尺寸，即 x=1 (m)， 在微观尺度下 y=x/ε= 109 (nm) 实际为1nm的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏观尺度下 x=yε= 10-9 (m)
5
6.2 多尺度模型
对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移 和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细 观结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置 x 非 常小的邻域 ε 内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于 宏观与细观两种尺度，即：
x x, y , y = x
上标 ε 表示该函数具有两尺度的特征。
Y-周期性：微观单胞的周期为Y
x, y x, y +Y
6
6.2 多尺度模型
在
中，弹性张量
E ijkl
和柔度张量
S ijkl
分别为
E ijkl
( x)
Eijkl
( x,
y)
in
S ijkl
(
x)
Sijkl
(
x,
y)
in
u x u0 (x, y) u1(x, y) 2u2 (x, y) L , y x
注意到任意一个依赖于两个尺度的函数 Φ 对宏观坐标 x 的偏微分为
xi
x,
y
x
xi
1
yi
应变张量
ekl
1 2
uk xl
ul xk
1 2
1
uk0 yl
ul0 yk
uk0 xl
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
第六章 均匀化理论和多尺度方法
陈玉丽 航空科学与工程学院
6.1 引言
在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热 载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模 型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。
ul0 u1k xk yl
ul1 yk
u1k xl
ul1 xk
uk2 yl
ul2 yk
2
uk2 xl
ul2 xk
uk3 yl
ul3 yk
L
1
e1 kl
x,
y
ek0l
x,
y
e1kl
x,
y
e2 2 kl
x,
y
L
9
6.3 渐进展开法
ekl
1
e1 kl
x,
y ek0l
单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从 而可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复 排列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此 种类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章 ） 。但 是，单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常 有效，然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构 上不同的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件 下非线性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞 模型应该包含大的区域，采用大的模型。
x,
y e1kl
x,
y
e2 2 kl
x,
yL
代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：
kl
1
1 kl
x,
y
0 kl
x,
y
1 kl
x,
y
2
2 kl
x,
yL
其中
n ij
E e n ijkl kl
x, y ,
n 1,0,1, 2L
将应力的渐进展开式代入平衡方程，有
1
1 ij
x,
2
6.1 引言
20世纪70年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学 方法，Benssousan和Sanchez-Palencia等称之为均匀化理论。这种方 法用于分析具有两个或者多个尺度的物质系统，它可以把含有第二相空 间的细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。
通过对位移和应力场进行渐进展开以及适当的变分原理，均匀化方 法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上 的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于不必作全局的 周期性假设，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分 析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设。
7
均匀化方法
1）渐进展开法（Asymptotic expansion） 2）泰勒级数近似法（Taylor Series Approximation） 3）以傅里叶变换为基础的多尺度方法
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6.3 渐进展开 法
Asymptotic expansion
在均匀化理论中， Y-周期位移场可以近似为宏观坐标 x 的展开式， 渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：
假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有
ij, j
fi
in
ekl
1 2
uk xl
ul xk
in
ij
E ijkl
ekl
in
其中 u u( x, y) 是细观坐标系 y 中的具有 Y-周期的位移场。
同时，在给定力边界和给定位移边界分别满足
ij
n
j
ti
on
t
ui ui on u