§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
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概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |
2 2
粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) | dv
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仙女座
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
2
h
2
( x) o
Ep
令 k
2
8 mE
2
h
2
( x ) 0 ( x )
( x ) 0
ψ(x) (0 x a )
0 ( x 0或 x a )
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
2 2
其中， 2
x
2 2
y
2 2
z
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrö dinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)
2
2mE k 2m( E E p )
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
即：对非自由粒子
d
2 2
dx
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程：
2
2
(
i 2 h
p)
2
d
2
dx
2
(
2 h
p) 0
2
上式可应用到非自由粒子情形。 其中： ( x)
i 2 h px
Ae
称为一维自由粒子的定态波函数。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
二、薛定谔方程 ( v << c )
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：
( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
而
E h ,
p
h
i
,
2 h
上式可写成：
(E t px) i 2 h Et
( x , t) Ae
i
( x)e
对于一维：
Ψ(x,y , z , t) dx 1
2
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准
条件）。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
也可用复数形式来表示：
Im
y( x , t) Ae
i ( t
2
x 0 )
( x )e
i 2 t
b
( x ) Ae
A
)
i(
2
x 0 )
o
a
Re
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
数，不含时间变量。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
( x ) 0
ψ(x) (0 x a )
0 ( x 0或 x a )
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足
d ( x)
2 2
dx
8 mE
2 h
其中： ( x)
px
Ae
称为一维自由粒子的定态波函数。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
二、薛定谔方程 ( v << c )
对自由粒子：其定态波函数为 ( x)
d
2
i
2 h
px
Ae
，则：
dx
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
2 2 x x t 0 y( x , t ) A cos(t ) 0
也可用复数形式来表示：
Im
Ψ(x,y , z , t) A cos iA sin
Ψ(x,y , z , t) Ae
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据边界条件：
( 0) 0
B0 A sin ka 0
(a ) 0
由于粒子肯定出现在(o, a)之间，A、B不能同时为零:
sin ka 0 ka n
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立
了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
Байду номын сангаас波恩
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述
其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。
i( 2 πν t 2π x) λ
而
E h ,
p
h
i
,
2 h
上式可写成：
(E t px) i 2 h Et
( x , t) Ae
( x)e
复数形式：
y( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
i ( t 2 x 0 )
Im
y( x , t) Ae
sin ka 0 ka n
k
8 mE
2
h
2
n a
E
h n
2
2 2
8ma
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
2 2
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
玻恩(M.Born，1882 - 1970)德
国物理学家，1926 年提出波函数
的统计意义，为此与博特(W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝 尔物理学奖。
( x )e
i 2 t
b
( x ) Ae
A
)
i(
2
x 0 )
o
a
Re
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
数，不含时间变量。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
A
)
i
b
A: 称为该复数的模
a
Re
o
θ : 称为该复数的幅角
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
2 2 x x t 0 y( x , t ) A cos(t ) 0
根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足
d ( x)
2 2
dx
8 mE
2
h
2
( x) o
Ep
令 k
2
8 mE
2
h
2
( x ) 0 ( x )
( x ) 0
d ( x)
2
dx
2
k ( x) o
2
( x ) A sin kx B cos kx
2
dv 1
（归一化条件）
2
对于一维：
Ψ(x,y , z , t) dx 1
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
( x ) A sin kx B cos kx
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据边界条件：
( 0) 0
B0 A sin ka 0
(a ) 0
由于粒子肯定出现在(o, a)之间，A、B不能同时为零:
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |
2 2
粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) | dv
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
Ψ(x,y , z , t) A cos iA sin
Ψ(x,y , z , t) Ae
A
)
i
b
A: 称为该复数的模
a
Re
o
θ : 称为该复数的幅角
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
即：对非自由粒子
d
2 2
dx
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程：
对非自由粒子
能量：E
动量： p
2
1 2
m v E p （E p为势能）
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
仿此关系，物质波的强度∝|Ψ ( x, y, z, t ) |2，物质波
的强度称作粒子在空间某点 (x, y, z) 处出现的概率
密度，记作w( x, y, z, t ) :
y( x , t ) A cos( t 2
x)
复数形式：
y( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仿照上式，在一维自由粒子上的物质波波函数：
( x , t) Ae
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
Ep
0 (0 x a )
( x 0或 x a )
Ep
( x ) 0 ( x )
对自由粒子：其定态波函数为 ( x)
d
2
i
2 h
px
Ae
，则：
dx
2
(
i 2 h
p)
2
d
2
dx
2
(
2 h
p) 0
2
上式可应用到非自由粒子情形。
对非自由粒子
能量：E
动量： p
2
1 2
m v E p （E p为势能）
2
2mE k 2m( E E p )
2 2
粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) | dv
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仙女座
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
2
h
2
( x) o
Ep
令 k
2
8 mE
2
h
2
( x ) 0 ( x )
( x ) 0
ψ(x) (0 x a )
0 ( x 0或 x a )
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
2 2
其中， 2
x
2 2
y
2 2
z
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrö dinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)
2
2mE k 2m( E E p )
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
即：对非自由粒子
d
2 2
dx
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程：
2
2
(
i 2 h
p)
2
d
2
dx
2
(
2 h
p) 0
2
上式可应用到非自由粒子情形。 其中： ( x)
i 2 h px
Ae
称为一维自由粒子的定态波函数。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
二、薛定谔方程 ( v << c )
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：
( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
而
E h ,
p
h
i
,
2 h
上式可写成：
(E t px) i 2 h Et
( x , t) Ae
i
( x)e
对于一维：
Ψ(x,y , z , t) dx 1
2
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准
条件）。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
也可用复数形式来表示：
Im
y( x , t) Ae
i ( t
2
x 0 )
( x )e
i 2 t
b
( x ) Ae
A
)
i(
2
x 0 )
o
a
Re
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
数，不含时间变量。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
( x ) 0
ψ(x) (0 x a )
0 ( x 0或 x a )
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足
d ( x)
2 2
dx
8 mE
2 h
其中： ( x)
px
Ae
称为一维自由粒子的定态波函数。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
二、薛定谔方程 ( v << c )
对自由粒子：其定态波函数为 ( x)
d
2
i
2 h
px
Ae
，则：
dx
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
2 2 x x t 0 y( x , t ) A cos(t ) 0
也可用复数形式来表示：
Im
Ψ(x,y , z , t) A cos iA sin
Ψ(x,y , z , t) Ae
x
o
a
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据边界条件：
( 0) 0
B0 A sin ka 0
(a ) 0
由于粒子肯定出现在(o, a)之间，A、B不能同时为零:
sin ka 0 ka n
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立
了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
Байду номын сангаас波恩
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述
其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。
i( 2 πν t 2π x) λ
而
E h ,
p
h
i
,
2 h
上式可写成：
(E t px) i 2 h Et
( x , t) Ae
( x)e
复数形式：
y( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
i ( t 2 x 0 )
Im
y( x , t) Ae
sin ka 0 ka n
k
8 mE
2
h
2
n a
E
h n
2
2 2
8ma
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
2 2
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
玻恩(M.Born，1882 - 1970)德
国物理学家，1926 年提出波函数
的统计意义，为此与博特(W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝 尔物理学奖。
( x )e
i 2 t
b
( x ) Ae
A
)
i(
2
x 0 )
o
a
Re
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
数，不含时间变量。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
A
)
i
b
A: 称为该复数的模
a
Re
o
θ : 称为该复数的幅角
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
2 2 x x t 0 y( x , t ) A cos(t ) 0
根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足
d ( x)
2 2
dx
8 mE
2
h
2
( x) o
Ep
令 k
2
8 mE
2
h
2
( x ) 0 ( x )
( x ) 0
d ( x)
2
dx
2
k ( x) o
2
( x ) A sin kx B cos kx
2
dv 1
（归一化条件）
2
对于一维：
Ψ(x,y , z , t) dx 1
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
( x ) A sin kx B cos kx
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
根据边界条件：
( 0) 0
B0 A sin ka 0
(a ) 0
由于粒子肯定出现在(o, a)之间，A、B不能同时为零:
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |
2 2
粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) | dv
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
Ψ(x,y , z , t) A cos iA sin
Ψ(x,y , z , t) Ae
A
)
i
b
A: 称为该复数的模
a
Re
o
θ : 称为该复数的幅角
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
即：对非自由粒子
d
2 2
dx
8 m
2
h
2
( E E p ) 0
称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程：
对非自由粒子
能量：E
动量： p
2
1 2
m v E p （E p为势能）
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
仿此关系，物质波的强度∝|Ψ ( x, y, z, t ) |2，物质波
的强度称作粒子在空间某点 (x, y, z) 处出现的概率
密度，记作w( x, y, z, t ) :
y( x , t ) A cos( t 2
x)
复数形式：
y( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仿照上式，在一维自由粒子上的物质波波函数：
( x , t) Ae
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
Ep
0 (0 x a )
( x 0或 x a )
Ep
( x ) 0 ( x )
对自由粒子：其定态波函数为 ( x)
d
2
i
2 h
px
Ae
，则：
dx
2
(
i 2 h
p)
2
d
2
dx
2
(
2 h
p) 0
2
上式可应用到非自由粒子情形。
对非自由粒子
能量：E
动量： p
2
1 2
m v E p （E p为势能）
2
2mE k 2m( E E p )