指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念
()
()
)
,0(1
010*
Z*n a a a a a Z n a a a a n n a
n n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-
个 2．运算法则 （1）n
m n
m
a a a +=⋅；
（2）()
mn n
m
a a =；
（3）()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
（4）()m
m m
b a ab =.
要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，
记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，
0=. 2．两个等式
（1）当1n >且*
n N ∈
时，
n
a =；
（2）⎩⎨
⎧=)
(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1
n
a =
m m n
a ==-
1m n
m n
a
a
=
要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a
α
β
αβ
+⋅=
(2)();a a αβαβ
= (3)();ab a b ααα
=
当a>0，p 为无理数时，a p
是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-.
2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】 类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1
【答案】 -3
3π-；0a b b a -⎧⎪
⎨⎪-⎩
　（a>b ） （a=b ）　（a<b ）
【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号. （1
3=-； （2
=
（3
|3|3ππ=-=-；
（4
||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩
　（a>b ） （a=b ）　（a<b ）
【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，
2=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
（1
2
；（3
4
.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)
2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩
.
例2.计算：（1
； （2
+.
【答案】
【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），
则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1
=
=
2-
|-|2|
=
+2-
（2
（2
+
11
=
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）
的分子、分母中同乘以1).
举一反三：
【变式1】化简：（1
（2
|3)
x<
【答案】（1
1；（2）
22(31),
4(13).
x x
x
---<<
⎧
⎨
-≤<
⎩
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：
（1
）2a（2
）3a（3
（4
【答案】
5
2
a；
11
3
a；
3
4
a；
5
4
y
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
（1
）
115
2
22222;
a a a a a
+
=⋅==
（2
）
2211
3
33333
a a a a a
+
=⋅==；
（3
11313
22224
()()
a a a a
=⋅==；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
=
=112
2
2
y xy x ⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
=54
y
解法二：从外向里化为分数指数幂．
1
2 =1
1222[)]y x =111
2363223{[()]}y x y x y x =1112
3
6
2
4
12
3y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=54
y
【总结升华】
此类问题应熟练应用*
0,,,1)m n
a a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
举一反三：
■高清课程：指数与指数运算 例1
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）5
2a a ⋅
【答案】（1）1310
10
2a ；（2）23
x
-．
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1
（2
0)a >；（3
）3b ；（4
．
【答案】7
122；34a ；113
b ；35
x
-
【解析】（1
177
6
2
1222⎛⎫
== ⎪⎝⎭
；
（2
313224
()a a =
===；
（3
）2113
3
3
3
b b b b =⋅=；
（4
=
3
5
913
535
11
()
x
x x
-
===．
例4.计算：
(1)
1
11
12
00.253
4
73
(0.0081)3()81(3)
88
-
-
-
-
-
⎡⎤
⎡⎤
-⨯⋅+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
；
(2)43
3
3
33
3
9
1
6
24
3
3
7+
-
-
++
【答案】 3；0；2
【解析】(1)原式=3
3
1
3
10
)
3
2
3
1
(
3
1
)3.0(2
1
1=
-
=
+
-
-
-；
(2)原式=0
3
3
2
3
6
3
73
3
3
3=
+
-
-；
(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；
注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)6
3
4
25
.0
3
1
)3
2
(
2
8
)
6
7
(
)
8
1
(⨯
+
⨯
+
-
⨯
-
；(2)3
3
3
2
3
3
2
3
1
3
4
)
2
1(
4
2
8
a
a
b
b
ab
a
b
a
a
⨯
-
÷
+
+
-
. 【答案】 112；a．
【解析】(1)原式=6
2
1
6
3
1
4
1
4
1
3
)
3
1
)(
1
(
)
3(
)
2(
2
)
2(
1
8⨯
+
⨯
+
⨯
-
-
112
3
2
2
23
2
4
1
4
3
=
⨯
+
+
=+；(2)原式3
1
3
1
3
1
3
1
2
3
1
3
1
3
1
2
3
1
3
1
2
)
2(
2
)
(
)
8
(
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
a
⨯
-
⨯
+
+
-
=a
b
a
b
a
a
=
-
-
=
+
+
3
3
1
3
3
1
3
1
3
1
3
1
)
2(
)
(
)
8
(
.
【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例3
3
3
1
2)
2
6
(
)
03
.1
(
2
3
2
3
)
6
6
1
(
)
4
1
(-
⋅
-
-
+
+
+-
-
【答案】21+
4
【解析】原式
3
44
．
例5.化简下列各式.
(1)
21
32
11
1
136
2
5
15
46
x y
x y x y
-
-
-
⎛⎫
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
；(2)
1
11
22
2
m m
m m
-
-
++
+
；(3)
1
0.5
2
3
3
277
(0.027)2
1259
-
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
【答案】
1
6
24y；
11
22
m m
-
+；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
21
32
11
1
136
2
5
15
46
x y
x y x y
-
-
-
⎛⎫
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
21111
()(1)()
33226
6
5(4)
5x y
-------
⎛⎫=⨯-⨯- ⎪
⎝⎭
11
066 2424
x y y ==
(2)
2
11
22
11 1
22 1111
2222
2
m m
m m
m m m m m m
-
----
⎛⎫
+
⎪
++⎝⎭
==+ ++
(3)
1
0.5
2
3
3
277 (0.027)2
1259
-
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2
55
=0.09
33
++-
举一反三：
【变式1】化简：
.
【答案】
57
66
x y
【解析】原式=
1157
1133
232
3366
2222
[()]()
xy x y xy x y x y
⋅=⋅⋅=.
注意：当n
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
==⎨
-<
⎩
.
【变式2】化简
2222
2222
3333
x y x y
x y x y
----
----
+-
-
+-
【答案】
-
【解析】应注意到
2
2
3
x x
-
-
与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式22223
3
33
333322223
33
3
()()()()x y x y x
y
x
y
-
-
-
-
--
--
+-=
-
+-
222222222
2
2
2
33
3
333
3
3()()[()()]x x
y
y x x y
y -
-
-
--
-
-
-
=-⋅+-++
23
2()
xy -
=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
【答案】
2x(x 1)
2(x 1)
≥-⎧⎨-<-⎩
【解析】 (1)
原式=
=
=
26
+==
=
(2)
22244(18+=+
0===>
=
(3)
3
3x 3x x 1-==-
x 1(x 1)
|x 1|x 1(x 1)
+≥-⎧=+=⎨
--<-⎩ 2x(x 1)
2(x 1)≥-⎧=⎨
-<-⎩
. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32
12
1=+-x x ，求
2
3
2
22
32
3-+-+--
x x x x 的值． 【答案】
13
【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32
12
1
=+-
x
x 的联系，进而整体代入求值．
32
12
1=+-
x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245
x x -+=
∴2
32
2232
3-+-+--
x x x x =1112
2
()(1)3472x x x x -
-+-+-- =3(71)315145453
⨯--==
【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求332
2
x x -
+及22
x x -+的值，然后整体代入．
举一反三： 【变式1】求值： (1)已知112
2
5x x
-+=，求21
x x
+的值；
(2)已知a>0， b>0， 且a b
=b a
， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由112
2
5x x
-+=，两边同时平方得x+2+x -1
=25，整理得：x+x -1
=23，则有21
23x x
+=；
(2)a>0， b>0， 又∵ a b
=b a
， ∴1119
()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒= ∴
818
2
9
9
93a a a =⇒=⇒=巩固练习 一、选择题 1.若1
3
x <
） A.31
x -
B.13x -
C. 2(13)
x -
D. 非以上答案
2.
若a =
b =a b +=（ ） A.1
B.5
C. -1
D. 25π-
3.
计算1
32-⋅ ）
A.32
B.16
C. 64
D.128
4.化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）
A.1
1
321122--⎛
⎫- ⎪⎝⎭
B.1
13212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1
3212-- D.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
5.4
4
等于（ ） A.16a
B.8
a
C.4a
D.2
a
6.若1,0a b ><
，且b b
a a -+=
b b a a --的值等于（ ）
A.6
B.2±
C.2-
D.2
二、填空题 7.
计算(
3
3
= .
8.
2)b <<= .
9.2
2
133
(2)(2)---⎛-+- ⎝= .
10.若3
,2
a b <
= . 三、解答题 11.计算：
（1）112
2
12
33
112534316-⎡⎤⎛⎫
⎢⎥++ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
；
（2）12
32
3
4
10.027500.00164-
⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
12.计算下列各式：
（1）0
114
30.75
3
237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦
⎝⎭
；
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-⋅-
+-。

13. 计算：
23
21113
3
3
3
111
1
1
x x x x
x x x x -+-+
-
+++-
巩固练习 一、选择题
1.化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）
A.1
1
321122--⎛
⎫- ⎪⎝⎭
B.1
13212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1
3212-- D.1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
2.
计算1
32-⋅ ）
A.32
B.16
C. 64
D.128 3.若1,0a b ><
，且b
b
a a -+=
b b a a --的值等于（ ）
A.6
B.2±
C.2-
D.2
4.下列各式中错误的是（ ） A. 2
115
3
15
1(1)a a
a
a --
⋅⋅=>
B. (
)
26
9463
(,0)a b
a b a b ---⋅=⋅>
C. 12211133342423424(,0)x y x y x y y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D.
11
332
41153
2
4
153
(,,0)5
25a b c
ac a b c a b c
---=->
5.12
2、13
3、16
6这三个数的大小关系为（ ） A. 16
6< 13
3< 12
2
B. 166<113223<
C. 122<133<166
D. 133<122<16
6
6. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x
x
f x
g x a a -+=-+
()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则(2)f =（ ）
A. 2
B.
154 C. 174
D. 2
a
二、填空题 7.=--
2
12
]
)2[( .
8.⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
= .
9.若0x >，则131311
42422223234()x x x x x -⎛⎫⎛⎫
+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
= .
10.已知1
4a a -+=，则1
12
2
a a --= .
三、解答题 11.计算：
（1）112
2
12
33
112534316-⎡⎤⎛⎫
⎢⎥++ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
；
（2）1
23
2
34
10.027500.00164-
⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
12.计算下列各式：
（1）0
114
30.75
3
237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++- ⎪⎣⎦
⎝⎭
；
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-⋅-
+-．
13. 计算：
23
21113
3
3
3
111
1
1
x x x x
x x x x -+-+
-
+++-
14.已知2212213
3
3
3
3
3
4,3,3a b x a a b y b a b +==+=+.
求证：()()22
3
3x y x y ++-为定值.
15.（1）化简：(
)
1113
2111
43
22
a b c c a
a b
b c
a b
b c
c a
x y x y
x x x ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
；
（2）已知)0,0)((21>>+=b a a b b a x ，求1
1
222---x x x b 的值.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。