误差处理

误差与数据处理

一、测量与误差

1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。

2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。

3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称为真值。

最理想的测量就是能够测得真值，但由于测量是利用仪器，在一定条件下通过人来完成的，受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响，使得待测量的真值是不可测得的。

4、误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。设被测量的真值为 a,测量值为x,则测量误差为我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。

5、测量的任务是：

（1）设法使测量值中的误差减到最小。

（2）求出在测量条件下被测量的最近真值。

（3）估计最近真值的可靠程度

二、误差的分类：

1、系统误差：

●系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。

例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；再例如当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时。

●产生系统误差的原因：

（1）仪器误差：由测量仪器、装置不完善而产生的误差。

（2）方法误差（理论误差）：由实验方法本身或理论不完善而导致的误差。

（3）环境误差：由外界环境（如光照、温度、湿度、电磁场等）影响而产生的误差。

（4）读数误差：由观察者在测量过程中的不良习惯而产生的误差。

●系统误差的消除：

由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。

例如：对不等臂天平，可以用交换被测物和砝码的位置，分别测出被测物质量和，则待

测物的质量

2、偶然误差

●偶然误差（随机误差）：

在同一条件下，多次测量同一物理量时，测量值总是有稍许差异而变化不定，这种绝对值和符号经常变化的误差称为偶然误差。

●偶然误差的规律性：

（1）绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同。

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

（3）超出一定范围的误差基本不出现。

●偶然误差的消除：

在一定测量条件下，增加测量次数，可以减小测量结果的偶然误差，使算术平均值趋于真值。因此，可以取算术平均值为直接测量的最近真值（最佳值）。

3、绝对误差：

●绝对误差：测量值x与被测量真值a之差，同被测量有相同单位，它反映了测量值偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。

在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度；但比较不同测量结果时，问题就出现了。例如：用米尺测量二个物体的长度时，测量值分别是0.1m和1000m,它们的绝对误差分别是0.01m和1m,虽然后者的绝对误差远大于前者，但是前者的绝对误差占测量值的10%，而后者的绝对误差仅占测量值的0.1%，说明后一个测量值的可靠程度远大于前者，故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。

4、相对误差：

●相对误差：测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。相对误差是一个比值，没有单位，通常用百分比表示。

三、直接测量结果的误差估计

1、 单次测量的误差估计

由于有些物理量的测量精度要求不高，或者这一物理量的误差对整体影响较小，因而只测量一次即可满足测量要求，此时测量误差的估计分两种情况：（1）在给定仪器误差情况下，单次测量的误差取仪器误差；（2）在没有给出仪器误差的情况下，对连续读数的仪器，取测量仪器最小分度值的一半作为单次测量的误差。对非连续读数的仪器，取测量仪器的最小分度值作为单次测量的误差。

对于其余一些特殊情况，单次测量的仪器误差示具体情况而定。例如：秒表和天平。

2、 多次测量的误差估计

● 算术平均值 ：在相同测量条件下，对同一物理量独立测量n 次的测量值为

x 1,x 2,……,x n ,其算术平均值为

● 残差 ：测量值 与平均值 之差称为残差。 （i=1,2,…,n）

● 标准偏差 ：

需要注意的是：测量值的标准偏差并不表示测量值的误差的实际大小，因为测量值的偶然误差是随机的，所以测量值的标准偏差只表示，任一测量值的误差落在区域（+ 、-

）内的概率

为 68.3%,这就是标准偏差的统计意义。

● 多次测量的误差 ：在充分考虑多次测量的标准偏差和仪器误差的情况下，多

次测量的误差为

● 算术平均值的标准偏差s:(本教材不做要求)

3、 可疑数字的剔除

一般测量的误差出现在内的概率为68.3%,误差出现在内的概率为95.5%,而出现在

区间内的概率为99.7%,而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出区

间的可能性及小，对误差超出的数据可以剔除，但要在原始数据记录表格中保留，并用红色笔做删除标记。

4、测量次数的确定

在基础实验中，一般测量次数为4——10次。

5、重复测量所得测量值相等时误差估计

重复测量的测量值相等，此时用前面所讲的计算标准偏差公式计算的结果为零，这并不意味着测量中不存在偶然误差，这是由于测量仪器精度较低，不足以反映测量的偶然误差，在这种情况下，计算标准偏差的方法为：设仪器的最小分辨值为b,测量的标准偏差为

四、间接测量的误差传递

由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量，由于直接测量存在误差，因此由计算得到的间接测量量也存在误差，这就是误差传递。

1、差传递的基本公式

设：x,y,z,……为独立的测量量，N为待测物理量，其函数关系为：

N=f（x,y,z,······）

对上式进行全微分有：

上式表示，当测量值x,y,z 有微小改变dx,dy,dz 时，间接测量量N改变dN ，通常误差远小于测量值，把dx,dy,dz,dN 看作是误差，上式就是误差传递公式了。当然上式表示的是绝对误差。

在某些情况下，计算间接测量量的相对误差较为简便，其计算公式为：