《工科数学分析教程下册第4版》最新版精品课件12.7 斯托克斯公式
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《工科数学分析教程下册第4版》最新版精品课件12.4 第一型曲面积分
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
§12.4 第一型曲面积分 定义
§12.4 第一型曲面积分 定义
பைடு நூலகம்
§12.4 第一型曲面积分 性质
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
§12.4 第一型曲面积分 小结
作业：作业册相应章节
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
§12.4 第一型曲面积分 计算
工科数学分析教程（下）
§12.4 第一型曲面积分
主讲教师： 工科数学分析组
授课内容
上节内容回顾 全微分方程 第一型曲面积分 本节小结 作业
上节内容回顾
授课内容
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§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
§12.3 格林公式、路径无关 全微分方程
《斯托克斯公式》课件
04
CATALOGUE
斯托克斯公式的扩展与推广
扩展到多维空间
总结词
斯托克斯公式在二维空间中的形式可以自然地推广到更高维度的空间，这有助于解决更 复杂的物理问题。
详细描述
在二维平面中，斯托克斯公式描述了速度场和流线之间的关系。类似地，在三维空间中 ，我们可以引入更多的变量和条件，以描述更复杂的流动现象。在高维空间的应用中，
公式符号说明
公式中的符号通常包括球体的半径r、粘性介质的粘度η、 球体的速度v、表面力F等。
适用范围
斯托克斯公式适用于球体在低雷诺数条件下，即球体在介质中 的运动受到的阻力主要来自于介质粘性，而非球体自身惯性。
背景
历史背景
01
斯托克斯公式是在19世纪初由英国物理学家乔治·斯托克斯通过
实验和理论推导得出的。
在现代物理中的新应用
总结词
随着科学技术的发展，斯托克斯公式在现代物理中得到 了新的应用，这些应用有助于解决现实生活中的问题。
详细描述
在现代物理中，斯托克斯公式被广泛应用于流体动力学 、气象学、航天科学等领域。例如，在航天科学中，斯 托克斯公式被用于描述卫星轨道的稳定性、气流对飞行 器性能的影响等问题。此外，随着数值模拟技术的发展 ，斯托克斯公式也被广泛应用于数值模拟软件中，以模 拟流体流动的各种复杂现象。
斯托克斯公式可以用于研究流体在更复杂环境下的行为，例如湍流、波动等现象。
与其他公式的关联
要点一
总结词
斯托克斯公式与其他物理公式和定律有着密切的联系，这 些联系有助于我们更深入地理解物理现象的本质。
要点二
详细描述
斯托克斯公式与牛顿第二定律、伯努利定理等公式有着密 切的联系。通过比较这些公式，我们可以发现它们之间的 相似性和差异性，从而更好地理解流体动力学的基本原理 。此外，斯托克斯公式还可以与其他物理公式相结合，以 解决更复杂的物理问题。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
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(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差 在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节 低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动 （略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节 平行非定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节 平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
， 定解条件为 作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节 平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动 设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻 突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某 一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的 流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由 斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分 (2)可编辑全文
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
19
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
D11_7斯托克斯公式
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其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
利用对称性Dx y
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
作业
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
习题11-7（P245） 提高题：1
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
8.7斯托克斯公式与旋度省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
例如当 是上半球面z= 1 x2 y2的上侧,则＋是 xoy面上的逆时针走向的单位圆周.
第2页
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法 向 量符合右手法则 .
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时 , 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同 .
第3页
2、斯托克斯(stokes)公式
i jk
称向量 x y z
PQR
(
R
Q
)i
(
P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
为F在点( x, y, z)处的旋度(rotation),记为rotF .
第13页
例 设 A (2z 3 y)i (3x z) j ( y x)k ，
求 rot A.
第14页
定理的正设向边是界一张+为光光滑滑或或分分片段光光滑滑的的定闭向曲曲线面。， 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
第18页
思索与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot (grad r) 0
.
第2页
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法 向 量符合右手法则 .
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时 , 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同 .
第3页
2、斯托克斯(stokes)公式
i jk
称向量 x y z
PQR
(
R
Q
)i
(
P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
为F在点( x, y, z)处的旋度(rotation),记为rotF .
第13页
例 设 A (2z 3 y)i (3x z) j ( y x)k ，
求 rot A.
第14页
定理的正设向边是界一张+为光光滑滑或或分分片段光光滑滑的的定闭向曲曲线面。， 若函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方
向.
三、 求向量场A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
第18页
思索与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot (grad r) 0
.
高斯公式与斯托克斯公式 ppt课件
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S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y
z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证
V
Rdxdydz z
S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:
V
Pdxdydz x
S
Pdydz
,
V
Qdxdydz y
S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q
S
dxdy x
z
dydz
L Qdy
(4)
R
R
S
dydz y
x
dzdx
L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y
P z
cos cos
dxdy
S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y
z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证
V
Rdxdydz z
S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:
V
Pdxdydz x
S
Pdydz
,
V
Qdxdydz y
S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q
S
dxdy x
z
dydz
L Qdy
(4)
R
R
S
dydz y
x
dzdx
L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y
P z
cos cos
dxdy
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第11章-反常积分(1)可编辑全文
u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
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从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递 增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
数学物理方法第四版期末总结ppt课件
d [ (i)3k (z i)k1] 1
(i)3k (k 1)(z i)k2
z i dz k0
z i k0
3
(k 2)i3(k3) (z i)k , (1 z i ) k
28
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
奇点名称 0 z z0 R 的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
22
例1 求幂级数 k(z i)k 的收敛圆. k 0
解
ak k
R lim ak a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
23
例2
幂级数 ez zk
k0 k !
的收敛域。
1
解:
R lim ak lim
a k
k
k 1
k! 1
(k 1)!
lim k 1 , k
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
f
(z)dz
2 i
Re sf
j 1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。
31
二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式
法二 零点和极点的关系
若z = z0是
f(z)的m阶零点，则z =
z0必是
1 f (z)
的
m阶极点。
2)
1
zk
1 z k0
3)
1
(1)k zk
1 z k0
( z ) ( z 1) ( z 1)
4) sin z (1)k
117斯托克斯公式 PPT资料共36页
英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-6.5 定积分的换元积分法与分部积分法
本节小结
换元积分法
授课内容
前节知识回顾 定积分的换元积分法 分部积分法 计算定积分的常用技巧 本节小结
§6.5 换元积分法与分部积分法
分部积分法
§6.5 换元积分法与分部积分法
分部积分法
授课内容
前节知识回顾 定积分的换元积分法 分部积分法 计算定积分的常用技巧 本节小结
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
§6.5 换元积分法与分部积分法
计算技巧
授课内容
前节知识回顾 定积分的换元积分法 分部积分法 计算定积分的常用技巧 本节小结
工科数学分析教程（上）
§6.5 定积分的换元积分法与分部积分法
授课内容
前节知识回顾 定积分的换元积分法 分部积分法 计算定积分的常用技巧 本节小结
上节课Байду номын сангаас容回顾
授课内容
前节知识回顾 定积分的换元积分法 分部积分法 计算定积分的常用技巧 本节小结
§6.5 换元积分法与分部积分法
换元积分法
§6.5 换元积分法与分部积分法
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限(1)可编辑全文
1 x2
1 x02 ( | x0 | 1 ).
证 因为
1 x2
1 x02
| x x0 || x x0 | 1 x2 1 x02
则 0, 取
2|
x
x0
| ,
1 x02 , 2
1 x02
当 0 | x x0 |
时，
|
1 x2
1
x02
|
2 | x x0 1 x02
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
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定义1 设 f 为定义在 a, 上的一个函数 . A 为
定数, 若对于任意正数 0，存在 M( a)，使得
当x M 时,
f (x) A ,
则称函数 f ( x) 当 x 趋于 时以 A 为极限. 记为
lim f ( x) A 或者 f ( x) A ( x ).
x
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当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim ex 0.
x
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例4
求证
lim
x
1
1 x
2
0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 x M 时, 有
1 1 x2