爱因斯坦相对论的时空特性研究

显然 ,时间间隔在引力场中比在平直空间中变短 了 ,这是由于单位时间变长的缘故 。在 r = ∞ 处 ,时 间间隔为常数 c d t ,在 r = rs 处 ( rs 为史瓦西半径) , 时间间隔变为零 ,即时钟停止走动 ,所以 ,物质越过 史瓦西球面时 ,需要无限长的时间 。 212 引力场中的长度标尺收缩 下面讨论引力场中的长度标尺收缩效应。设 径向条件为 dθ= dφ = 0 ,由真实距离元与空间坐标 元普遍关系及史瓦西解 ,可得
[4 ] [2 ]
[ 收稿日期 ] 2004 - 12 - 09 [ 基金项目 ] 国家 “十五” 教育科学重点立项课题 (BIA010091212D03) ) ,男 ,广东五华人 ,北京联合大学基础部教授 ,光学博士 ,光通信博士后 ,从事物理光学理论 、 [ 作者简介 ] 张宁 (1962 —
2005 年 3 月 第 19 卷第 1 期总 59 期
北京联合大学学报 ( 自然科学版) Journal of Beijing Union University (Natural Sciences)
Mar. 2005 Vol. 19 No. 1 Sum No. 59
爱因斯坦相对论的时空特性研究
张 宁
( 北京联合大学 基础部 ,北京 100101)
[摘 要] 时间和空间是相对论研究的重要物理问题 , 在物质的空间中 , 存在引力场 , 而由于引
力场的存在 ,则会导致时间的变化 , 空间的弯曲 , 光线轨迹的改变等 。对相对论中的时间和空间 特性进行了探讨 , 分析了广义相对论中的等效原理和广义协变原理 , 讨论了爱因斯坦引力场方 程 ,研究了相对性原理 、 引力场中的时间膨胀 、 长度收缩和引力波 。 [ 关键词 ] 广义相对论 ; 等效原理 ; 引力场 ; 时间膨胀 ; 长度收缩 ; 引力波 [ 中图分类号 ] O 41211 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 100520310 ( 2005) 0120015204 爱因斯坦相对论的诞生 ,是物理学发展过程中 具有革命性意义的重大事件 。经典物理学曾经取 得过辉煌成就 ,然而在迈克尔逊的以太漂移实验中 却显露出危机 。 “以太” 怎么可能既被带动又不被 带动呢 ? 解决这个难题的人 ,是一代科学巨人爱因 斯坦 。1905 年 9 月 , 他的一篇题为 《论运动物体的 电动力学》 的论文发表在德国 《物理学年鉴》 上 ,文 章从分析麦克斯韦电磁场理论应用到运动物体上 所产生的矛盾入手 ,以新的时空观代替了旧的时空 观 ,建立起可以与光速相比较的高速物体的运动规 律 ,提出了他举世闻名的狭义相对论 。他从同时的 相对性这一点为突破口 ,建立了全新的时间和空间 理论 。在许多科学家还无法接受狭义相对论的时 候 ,爱因斯坦又开始把相对论原理推广到非惯性系 中去 ,并在 1913 年提出了广义相对论的基本原理 , 即自然定律在任何参考系中都可以表示为相同的 数学形式 ,在一个小体积范围内的万有引力和某一 [1 ] 加速系统中的惯性力相互等效 。按照这些原理 , 爱因斯坦在 1916 年建立了广义相对论 , 把狭义相 对论从惯性系推广到非惯性系 , 并把引力含在其 中 ,建立起引力场理论 。在引力场中 , 时间的测量 发生了变化 , 空间标尺也发生改变 , 还有对引力波 进行探测等 ,这些相对论的时空特性都涉及到物理 学的重大问题 ,值得进一步深入研究和探讨 。
即引力场中标准钟比无限远处标准钟走得慢 ,引力 越强 ,钟走得越慢 。如图 1 所示 。
(1) 式中 Rμv 是二阶曲率张量 , 称里奇 ( Ricci ) 张量 ,
R 为曲率标量 , gμv 是度规张量 , 而 Tμv 是物质的能
量 - 动量张量 , K 为常数 , 可由泊松方程求得 ,λ 为 宇宙常数 。等式的左边是描述空间几何性质的几 何量 ,而右边是物质张量 。该式把物质和时空紧密 联系在一起 ,表明空间 - 时间的几何性质与物质的 分布及其运动密切相关 。物质的分布和运动决定 四维时空的曲率 ,而这个弯曲时空又决定物质的运 动状态 。在引力场方程中 , gμv 是 4 × 4 的对称矩阵 , 有 10 个独立变量 ,式 ( 1) 有相应的 10 个场方程 , 但 其中只有 6 个方程独立 。要得到确定解 ,还须补充
规张量为
1 gμv =
2 GM
c r
2
0 12 GM
c r
2 -1
0 0 - r 0 2 GM
c r
2 2
0 0 0 - r sin θ
-1 2 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0 0 0
(2)
d l ( r) =
1 -
2 GM
c r
2
-
1 2
dr
( 7)
0 0 2 GM
c r
2 2
) = d r ,即径向坐标尺相当于无限远处标 由于 d l ( ∞ 准尺 ,用 r 处径向标准尺测量 d l ( r) ,结果为 d l ( r) = ( 3) 1 2 GM
Rμv [7 ]
1 -
2 GM
c r
2
dt
( 4)
) = dt dτ( ∞
( 5)
即坐标钟相当于无限远处标准钟。用 r 处标准钟 ) ,结果为 测 dτ( ∞
dτ( r) = 1 2 GM
c r
2
) < dτ( ∞ ) dτ( ∞
( 6)
1 gμ R + λ gμv = - KTμv 2 v
( 1)
[5 ]
2 引力场中的时空结构特性
211 引力场中的时间变慢
。
下面 对 引 力 场 中 的 时 间 特 性 进 行 讨 论 。当 r →∞ 时 , g00 → 1 , g11 → - 1 , 即距 M 无限远处的黎 曼空间近似为平直的闵氏空间 ,引力趋于零 。则由 固有时与坐标时普遍关系及史瓦西解 ,可得到
dτ( r) =
g00 d t =
为满足广义相对性原理 ,场方程中所有物理量都应 该表达为张量的形式 , 场方程应为张量方程 , 普通 微分应改成协变微分
[6 ]
。在弯曲的黎曼空间 , 张量 由此得
的协变微分仍为张量 。张量的最基本性质就是在 坐标变换下协变 ,即张量在坐标变换下的变化规律 与坐标微分的变换相符 。这样一来 ,由张量及其协 变微分建立起来的张量方程 ,就可以在坐标变换下 保持不变 ,方程所代表的物理规律在任何参考系中 都相同 ,从而满足广义相对性原理 。 爱因斯坦引力场方程为
图2 引力场中长度标尺收缩
与欧氏空间球面上距离元相同。欧氏空间的距离 和尺度是不随地点改变的 , 因此 , 横向真实长度及 横向放置的标准尺 , 都不随 r 位置的变化而改变 。 在此意义上 ,我们就称 r 为常数的球面是欧几里德 πr , 球面面积为 4 πr2 。史 的 。球面上大圆周长为 2 φ 具有欧氏空间角坐标的几何意 瓦西坐标中 ,θ、 义 ,但这里要注意的是 , 坐标 r 却不是代表该点到 球心的真实距离 , 而是代表该点的坐标距离 , 通常 称之为 “视在半径” 。 若已知过该点的球面面积为
光通信技术等方面的研究和教学 。
12
北京联合大学学报 ( 自然科学版)
2005 年 3 月
现象等物理过程的影响 ,这些影响可由等效原理和 广义相对性原理确定 ,在引力场内一点处的局域惯 性系内为狭义相对论的物理规律 ,将其改造成广义 协变的形式 , 把闵可夫斯基度规换成黎曼度规 , 就 可得到引力场中相应的物理规律和引力场方程
4 个方程 ,叫作坐标条件 。
图1 引力场中时钟变慢
( 6) 式就是广义相对论的时间间隔表达式。
下面假设引力场是球对称分布 , 即半径为 r0 的静止质量物体产生球对称的引力场。在史瓦西 (Schwarzschild) 坐标 ( ct , r ,θ,φ) 下解引力场方程
( 1) ,可得到物质外部真空区域的史瓦西外部解度
A ,则可得到 r =
干光有了光程差 , 破坏了相干减弱的初始条件 , 光 电二极管有信号输出 ,该信号的大小与引力波的强 度成正比 。1970～1980 年 , 美国加州理工学院和麻 省理工学院开始研制激光干涉仪 。 引力波存在的间接证据是由 Hulse 和 Taylor 首 先得 到 的 。1974 年 , 他 们 发 现 了 脉 冲 中 子 双 星 PSR1913 + 16 , 并对它的轨道运动周期进行了长期 观测 。根据广义相对论 ,中子双星系统在作轨道运 动时 ,会辐射出引力波而使轨道变小 , 周期变短 , Hulse 和 Taylor 的观测结果与广义相对论符合得极 好 。Hulse 和 Taylor 因此荣获 1993 年度的诺贝尔物 理学奖 。 这几年 ,美国大大加强了对引力波探测的科学 研究活动 。经过 45 年的酝酿和开发 ,耗资 715 亿美 元的美国 “引力探测器 B ” 卫星 , 最近从加利福尼亚 州范登堡空军基地成功升空 ,它的使命是以前所未 有的精度对爱因斯坦 1916 年提出的广义相对论进 行验证 。 “引力探测器 B ” 将对广义相对论的两项 重要预测进行验证 。具体说 ,就是时间和空间不仅 会因地球等大质量物体的存在而弯曲 ,大质量物体 的旋转还会拖动周围时空结构发生扭曲 。这两项 预测分别被称为 “短程线效应” 和 “惯性系拖曳效 应” 。按照参与该项目的科学家们的通俗比喻 , 如 果把时空结构想像为一张平坦的床单 ,把地球等大 质量物体看成是一个保龄球 ,那么床单会因保龄球 的放入而凹陷下去 ,所谓 “短程线效应” 可以如此简 单理解 。而所谓 “惯性系拖曳效应” ,则有点像把一 个橡皮球放入盛满糖浆的大碗 ,橡皮球或者说大质 量物体的转动 ,会带动糖浆或者说时空结构跟着一 起运动 。 “引力探测器 B” 卫星主要采用 4 个超高精 度的回转仪 ,来测量地球自身质量以及自转给回转 仪所处时空造成的弯曲和扭曲效应 。卫星将主要 在距离地球约 640 km 的极地轨道上运转 ,其探测预
1 引力场方程
在狭义相对论中 , 根据狭义相对性原理来描 述自然规律时 , 一切惯性系 , 即相对于诸恒星做匀 速运动的一切参照系都是等价的 , 用数学语言来 说 ,就是该原理要求物理学的基本方程对洛仑兹变 换具有协变性 。而广义相对性原理则指出 ,表述物 理规律时 , 所有的坐标系都是等价的 , 应同等对 待 。那么惯性系与非惯性系能等价吗 ? 从牛顿 力学看 ,运动物体在惯性系中的加速度取决于外界 对它的作用力 ,而在非惯性系中的加速度除了取决 [3 ] 于上述作用力外 ,还取决于惯性力 。惯性力是非 惯性系自身的加速运动的反映 ,而不是一种物质间 的相互作用 。因此 ,要把惯性系与非惯性系看成等 价 ,首先遇到的问题就是怎样重新看待惯性力 。引 力有一个特点 ,那就是它的强度与受力物体的质量 成正比 ,因而它引起的加速度与受力物体的固有性 质无关 。惯性力恰好具有同样的性质 ,这一点暗示 人们 : 惯性力与引力对一切物理现象的影响应该是 不可区分的 。爱因斯坦把这由事实所暗示的可能 的结论作为原理接受了 , 这就是等效原理 , 即作用 在一个物体上的引力和惯性力是等效的 ,在局部范 围内 ,它们之间不可区分 。爱因斯坦的引力几何理 论来自等效原理和广义相对性原理 。引力的几 何理论包括两个方面 ,一是由已知的弯曲时空度规 讨论自由粒子的运动 , 以及引力对力学现象 、 电磁
13
单位尺缩短为零 ,两点间的间隔变为无穷大。由于 尺度的变短 ,意味着间隔的伸长。因此 ,引力越强的 地方 ,径向尺收缩效应就越显著 ,如图 2 所示 。 至于横向 ( d r = 0) 方面 ,其真实长度为
d l Ζ = r ( dθ + sin θ dφ ) 2
2 2 2 1
( 9)
图3 激光干涉型引力波探测器
c r
2 1 2
其时空间隔为
ds = 1 2 2
dt 2 2
2
1 -
dr -
2
) > dl( ∞ ) dl( ∞
( 8)
r ( dθ + sin θ dφ )
说明 r 处径向放置的标准尺比无限远处标准尺短 , 越邻近场源的地方单位尺收缩越显著 ,在 r = rs 处 ,
第 19 卷第 1 期
张 宁 : 爱因斯坦相对论的时空特性研究