浅谈用等可能性巧解排列组合问题

２００８ ０２－Ｂ
教育实践与研究
Ｅｄｕｃａ ｔｉｏｎａ ｌ Ｐ ｒａ ｃｔｉｃｅ ａ ｎｄ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒｃｈ
６２
２Ａ３３） ＋Ａ３３ ＝６０， 故 不 同 的 排 法 有 ６０ 种 。 若 用 等 可 能 性 的 思 想 解 题 就 便 于 理 解 和 把 握 了 。设 事 件 Ａ 为“ 乙 站 在 甲 的 右 边 ”， 由 于“ 甲 站 在 乙 的 右 边 ”与“ 乙 站 在 甲 的 右 边 ”的 可 能 性 相
维混乱。利用等可能性的思想能使问题豁然开朗。ｎ 个人围圆
桌而坐，
总共有
Ａｎｎ－－
１ １
种
排
列
方
法
。它
们
是
等
可
能
的
。设
事
件
Ａ
为“甲乙两人坐在一起”， 不妨让 甲 先 坐 好 ， 显 然 乙 总 共 有
（ ｎ－ １） 个 位 置 可 坐 ， 这（ ｎ－ １） 个 位 置 都 是 等 可 能 的 ， 而 甲 乙 坐
种， 且每一种顺序的发生是等可能的。因此， 不妨设事件 Ａ 为
“７ 名 同 学 站 成 一 排 ， 甲 、乙 、丙 恰 按 某 一 固 定 顺 序 排 列 ”， 则
Ｐ（ Ａ） ＝ １ 。七名同学站成一排的随机试验所含的等可能的基 ６
本事件总数 ｎ＝Ａ７７ 。故七名学生站成一排， 其中甲、乙、丙三人
的顺序固定的排法种数
【责任编辑 姜 华】
运用多媒体技术 服务物理课堂教学
王付云
（ 成安县化店中学， 河北 邯郸 ０５６７００） 关键词： 多媒体技术； 物理； 课堂教学 中图分类号： Ｇ６３３．７ 文献标识码： Ｂ 文章编号： １００９－ ０１０Ｘ（ ２００８） ０２－ ００６３－ ０２
例 ２． 由 ０、１、２、３、４ 五个数字可以组成多少个没有重复
数字的四位数？ 此题特殊元素“０”的存在， 增加了解题的难度。利用等可
能性的思想可使问题得以简化。设事件 Ａ 为“抽出四个数字
排列成没有重复数字的四位数”。Βιβλιοθήκη Baidu五 个 数 字 组 成 没 有 重 复 数
字的四位数的随机试验所含的等可能的基本事件总数 ｎ＝Ａ４５ 。
ｍ＝ｎ·Ｐ（
Ａ）
＝Ａ７７
×
１ ６
＝８４０。
五 、挑 选 成 员 的 组 合 问 题
例 ５． 一个小组共有 １０ 名 学 生 ， 其 中 ４ 名 是 女 生 ， ６ 名 是
男生， 要从小组内选出 ３ 名代表， 其中至少有 １ 名女生， 求一
共有多少种选法？
设 事 件 Ａ 为“ 从 小 组 内 选 出 ３ 名 代 表 ， 其 中 至 少 有 １ 名
二、把集体教育和自我教育相结合， 发挥组织教育作用 长期以来， 学校德育工作中比较多地强调集体教育。应 该 肯 定 集 体 教 育 仍 是 当 前 学 生 工 作 中 的 主 旋 律 之 一 。但 是 由 于 青 少 年 学 生 兴 趣 爱 好 、个 性 特 长 、生 活 习 惯 、成 长 经 历 不 同 ， 所 处 的 周 边 环 境 及 个 人 的 文 化 素 养 、价 值 观 、心 理 差 异 等， 在教育中很难把全体学生组织在同一个活动中来满足所 有学生的思想需求。这就要求我们在 德 育 工 作 中 研 究 、把 握 学生的个体因素， 把学生的自我教育与集体教育有机地结合 起 来 ， 或 者 说 ， 在 集 体 教 育 过 程 中 渗 透 、穿 插 、强 化 自 我 教 育 因素。 心 理 学 研 究 表 明 ， 独 立 、自 主 是 现 代 青 少 年 身 心 发 展 的 特点之一。而一个人独立、自主心理品质的形成， 与他是否具 有 较 强 的 自 我 教 育 能 力 有 着 很 重 要 的 关 系 。自 我 教 育 是 集 体 教 育 中 的 个 体 因 素 ， 亦 是 影 响 、牵 制 集 体 教 育 的 最 为 活 跃 的 教育“分子”。因此， 我们在组织开展 各 类 教 育 活 动 过 程 中 应 树立“从集体着眼， 由个体入手”的教育观， 积 极 主 动 地 、有 意 识地重视培养影响青少年学生自我教育能力的非智力因素， 如： 情感意志、动机、兴趣、性格等， 把对青 少 年 自 我 教 育 能 力 的培养， 看作是人才培养的必要条件。因为一个人不可能一 辈子在别人的管理下生活， 最终要走上社会， 去迎接生活的 挑战、实践的考验， 而在瞬息万变的社会 里 ， 只 有 具 备 了 自 我 教育的能力才能使自己适应形势发展的需要， 使自己的个性 品质、思想素质、道德修养日臻完善。因 此 严 格 地 说 ， 学 生 思 想教育工作的最终目标是实现自我教育。诚然， 要实现自我 教育， 除了要依靠集体教育的力量外， 最有效的途径是要充 分发挥组织教育作用。就青少年学生而言， 组织教育是其个 性特长最容易得以施展的教育形式， 学校的组织教育往往以 其多姿多彩、充满感召力、凝聚力、说服 力 的 活 动 形 式 吸 引 激 励青少年学生积极投入， 并在活动中潜移默化地接受各种教 育 ， 从 而 达 到 在 组 织 中 让 学 生 学 会 自 己 管 理 自 己 、自 己 教 育 自 己 、自 己 升 华 自 己 、自 己 完 善 自 己 的 目 的 。 三、把学校教育与社会教育相结合， 发挥综合教育作用 从辩证发展的眼光及学生德育工作的现状来看， 学生德 育工作应该是由学生个体因素、学校 内 部 管 理 和 社 会 外 部 环 境 三 个 部 分 组 成 ， 只 有 使 其 三 者 间 形 成 一 个“ 组 合 体 ”， 并 且
一 、排 队 问 题 例 １．甲 、乙 、丙 、丁 、戊 五 个 人 ， 并 排 站 成 一 排 ， 如 果 乙 必 须站在甲的右边， 甲、乙可以不相邻， 那 么 不 同 的 排 法 有 多 少 种？ 此题学生错误率通常较高。其原因是分类标准不明确， 容易重复。正确解答是按甲在第一至第四个位置上分为四 类 ， 从 而 得 出 算 式 ： Ａ４４＋Ｃ１３ Ａ３３＋Ｃ１２ Ａ３３＋ Ａ３３ ＝６０ 或 Ａ４４＋（ Ａ４４－ Ａ３３） ＋（ Ａ４４－
在一起， 只有两种可能， 因此 Ｐ（
Ａ）
＝
２ ｎ－ １
。所 以
ｎ
个朋友随机
地围圆桌而坐 ， 甲乙两人坐在 一 起 有 ｍ＝Ａｎｎ－－ １１·ｎ－２１
＝２·Ａｎｎ－－
１ １
种
坐法。
四 、定 序 问 题
例 ４．七名学生站成一排， 其中甲 、乙 、丙 三 人 的 顺 序 固 定
的排法有多少种？
７ 名同学站成一排 ， 甲 、乙 、丙 三 人 的 不 同 顺 序 共 有 Ａ３３＝６
【责任编辑 韩四清】
浅谈用等可能性 巧解排列组合问题
孙如义
（ 沧县中学， 河北 沧州 ０６１０００） 关键词： 等可能性； 排列组合； 概率； 试验； 事件 中图分类号： Ｇ６３３．３ 文献标识码： Ｂ 文章编号： １００９－ ０１０Ｘ（ ２００８） ０２－ ００６２－ ０２
排列组合在高中数学中占有一定的地位。它内容独特， 自成体系。不少学生对于简单的问题尚能依样葫芦， 遇到复 杂的问题往往就束手无策， 解题时带有很大的盲目性。排列 组 合 是 中 学 数 学 教 学 的 的 一 个 难 点 。排 列 组 合 的 后 一 章 是 概 率， 是近几年高考的重点。通常我们只是用排列组合的知识 去解决概率问题， 很少尝试着反过来考虑。实际上我们可以 用概率的某些方法解决排列组合问题， 这样不仅会使我们加 深对概率知识的理解， 而且思路往往通俗简洁， 容易接受。下 面试举几例来予以说明。
使学校教育与社会实践成为一体化的教育过程， 才能实现学 校德育工作的优化目标。
特别是当前进入了网络时代， 学校德育工作已不再是单 一的学校教育任务。过去那种“封闭式 ”的 回 避 社 会 矛 盾 ， 绕 开学生思想实际的思想教育形式， 已无法应对当今外来思潮 的冲击， 因为每一个学生都是生活在一个具体的社会环境 里， 他们的思想及行为必然要受到周围社会环境的影响并不 时 打 上 时 代 烙 印 。只 有 让 学 生 去 接 触 社 会 、了 解 社 会 、探 讨 社 会 、服 务 社 会 、在 社 会 实 践 中 真 正 认 识 社 会 、适 应 社 会 、把 握 社会， 才能有效地完成学校思想教育任务。而这一任务的完 成， 又离不开社会外部环境的作用。因此可以说， 做好学校德 育 工 作 也 是 全 社 会 的 共 同 任 务 。这 就 给 我 们 提 出 了 这 样 一 个 问题： 学生德育工作如何发挥综合教育作用？ 就学校而言， 必 须 立 足 于 教 育 的 基 础 ， 充 分 调 动 、发 挥 、利 用 、依 靠 各 方 面 的 积 极 因 素 、有 利 条 件 、潜 在 的 力 量 ， 不 断 更 新 观 念 ， 改 善 教 育 环境， 创设教育条件， 变革教育机制， 健全教育政策， 促进教 育投资， 进而实现教育的综合效应。而衡量综合教育的效果， 则要以与时俱进的标准去审视青少年学生的思想道德素质、 文化知识素质、心理素质、身体素质、人 文 素 质 等 是 否 得 到 全 面提高。
０、１、２、３、４ 各个数字排在首位的可能性相等， 由于 ０ 不能在
首位， 故
Ｐ（
Ａ）
＝
４ ５
，
于是可以组成没有重复数字的四位数的
个数为 ｍ＝ｎ·Ｐ（
Ａ）
＝Ａ４５
×
４ ５
＝９６。
三 、环 排 问 题
例 ３． ｎ 个朋友随机地围圆桌 而 坐 ， 求 甲 乙 两 人 坐 在 一 起
有多少种坐法？
本题利用常规的方法解决， 往往会使学生思路不清， 思
同 ， 由 对 称 性 知 Ｐ（
Ａ） ＝Ｐ（
Ａ）
＝
１ ２
， 而 ５ 个人站成一排的随机
试 验 所 包 含 的 等 可 能 的 基 本 事 件 总 数 ｎ＝Ａ５５， 所 以 不 同 的 排
法 ｍ＝ｎ·Ｐ（
Ａ）
＝Ａ
５５·
１ ２
＝６０， 即 乙 站 在 甲 右 边 的 不 同 排 法 有
６０
种。
二 、组 数 问 题
新的要求和希望， 而学校的主要任务是为社会培养合格人 才， 学校德育工作为了适应新的要求， 必 须 探 索 、选 择 新 的 教 育途径， 充实、积累新的成功的教育经验 ； 随 着 社 会 的 日 益 开 放， 特别是互联网的发展， 学生单纯幼稚 、脆 弱 的 心 灵 缺 乏 必 要的防范， 往往会受周围环境的左右， 受不良信息的影响， 失 去应有的心理平衡， 影响学生个性品质的健康发展。学校必 须针对新的教育对象， 研究新的教育思路， 保证高效全面地 完 成 德 育 工 作 任 务 。所 以 学 校 的 德 育 工 作 必 须 变 过 去 的 以 经 验 为 基 准 的 教 育 为 以 学 生 心 理 特 征 为 基 准 的 教 育 。在 具 体 教 育 过 程 中 ， 不 失 时 机 地 把 握 当 前“ 多 元 化 ”、“ 多 色 彩 ”瞬 息 万 变 的 时 代 特 征 ， 并 结 合 学 生 的 年 龄 特 点 、个 性 差 异 运 用 情 感 教育规律， 变单纯的灌输式为丰富多彩的师生情感交流式； 变死板的教训式， 为生动互勉的讨论式。这样， 学生容易接 受， 有利于提高鉴别能力、免疫能力。
女生”， 则其对立事件为“从小 组 内 选 出 ３ 名 代 表 ， 全 是 男
生”。１０ 名同学中选出 ３ 名代表的随机试验所含的等可能基
本事件总 数 ｎ＝Ｃ１３０ ， 事 件 Ａ 所 包 含 的 基 本 事 件 数 为 Ｃ３６， 因 此 ，
Ｐ（
Ａ）
＝
Ｃ３６ Ｃ１３０
＝
１ ６
， 从 而 Ｐ（
Ａ） ＝１－ Ｐ（
足等可能性这一基本特征， 如果对非等可能事件贸然应用上
述方法则会导致错误。
教学实践证明， 在学生掌握了排列组合与概率这两部分 内容之后， 适当介绍一下解排列组合的概率方法， 可谓一箭 双雕， 使学生不但加深了对概率的理解， 进一步掌握排列组 合的计算技巧， 而且沟通了这两部分内容的联系， 使知识真 正融为一体， 起到事半功倍的效果。
Ａ） ＝ ５ ６
， 故从小组内选出 ３
名 代 表 ， 其 中 至 少 有 １ 名 女 生 的 选 法 种 数 ｍ＝ｎ·Ｐ（ Ａ） ＝Ｃ１３０ ×
５ ＝１００。即有 １００ 种选法。 ６
通过上述几例， 我们看到应用等可能性思想解某些排列
组合问题问题思路简洁， 易于理解， 便于接受。但值得注意的
是， 应用这一思想解题是有条件限制的， 它要求问题必须满