第8章：SPSS因子分析
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k
hi 2
2 a ij j 1
3、因子的方差贡献 因子方差贡献是因子载荷矩阵中第j列元素的平方和，反 映了第j个因子对原有变量总方差的解释能力。该数值越高， 说明相应因子的重要性越高。
S j 2 aij 2
i 1
p
2. 因子分析的基本内容
1)因子分析的基本步骤
①因子分析的前提条件 因子分析的前提条件是原始变量之间应存在较强的相关关系。 ②因子提取； ③使因子更具有命名可解释性； ④计算各样本的因子得分。
估计因子得分系数的方法有很多，通常采用最小二乘意 义下的回归法进行估计。
3. 因子分析的基本操作
【分析】----【降维】----【因子分析】
因子分ห้องสมุดไป่ตู้的应用举例
为研究全国各地区年人均收入的差异性和相似性，收集
到1997年全国31个省市自治区各类经济单位包括国有经济单
位、集体经济单位、联营经济单位、股份制经济单位、外商 投资经济单位、港澳台经济单位和其他经济单位的年人均收
入数据。由于涉及的变量较多，直接进行地区间的比较分析
较为繁琐，因此首先考虑采用因子分析方法减少变量个数， 之后再进行比较和综合评价。
1 考察原有变量是否适合进行因子分析
这里借助变量的相关系数矩阵、巴特利特球度检验和KMO 检验方法进行分析。 同时，由于数据中存在缺失值，采用均值替代法处理缺失 值。 2 提取因子 首先进行尝试性分析，根据原有变量的相关系数矩阵，采 用主成分分析法提取因子并选取特征根值大于1的特征根，输出 因子分析的初始解。 重新指定提取特征根的标准，指定提取两个因子。
在这个数学模型中，F称为公共因子，因为它出现在每个
变量的线性表达式中，简称因子。因子可理解为高维空间中 互相垂直的k个坐标轴；A称为因子载荷矩阵，a 载荷，是第i个原始变量在第j个因子上的负荷； 当于多元线性回归模型中的残差。
ij
因子，表示原始变量不能被因子解释的部分。其均值为0，相
称为因子 称为特殊
4)因子的命名
观察因子载荷矩阵，如果因子载荷的绝对值在第j列的
多个行上都有较大的取值，则表明因子fj能够同时解释许多 变量的信息，且对每个变量只能揭示较少部分信息，但不能 代表任何一个原有变量。这种情况下，因子fj的含义是模糊 不清的，为解决这个问题，可通过因子旋转的方式是一个变 量值在尽可能少的因子上有比较高的载荷。因子旋转一般采 用正交旋转使新生成的变量仍可保持不相关，正交旋转一般 采用方差最大法（varimax）。然后再根据各因子对各原始 变量的解释程度进行命名。
因子分析的几个相关概念
1、因子载荷
在因子不相关的前提下，因子载荷是第i个变量与第j个 因子的相关系数。因子载荷越大说明因子与变量的相关性越 强，所以因子载荷说明了因子对变量的重要作用和程度。 2、变量共同度 变量共同度也称为公共方差。第i个变量的共同度定义为 因子载荷矩阵中第i行元素的平方和，即：
2)因子分析的的前提条件
① 计算相关系数并进行统计检验 如果相关系数矩阵中的大部分相关系数小于0.3，那么这些 变量不适合进行因子分析。 ②计算反映象相关矩阵
MSAi
r r p
2 i j 2 ij i j ij i j
2
ij
其中rij 为第i个变量与第j个变量的简单相关系数； pij 为第i个变量与第j个变量在控制了剩余变量下 的偏相关系数。
表示，且每个变量的均值是0，标准差是1，现将每个原有变 量用k（k<p）个因子
f1、f 2、、 ... f k
的线性组合来表示，
即：
x1 a11 f1 a12 f 2 ......a1k f k 1 x2 a21 f1 a22 f 2 ......a2 k f k 2 ..................................................... x p a p1 f1 a p 2 f 2 ......a pk f k p 用矩阵表示为X AF
因子得分变量的散点图；其次，对各地区人均年收入进行综合
评价，采用计算因子加权总分的方法，以两个因子的方差贡献 率为权数。
练习
根据基本建设投资数据判断是否适合作因子分析，
如果可以作，提取几个因子比较合适？并对因子进
行命名，计算综合得分。
3 因子的命名解释
采用方差最大法对因子载荷矩阵实施正交旋转以使因子具 有命名解释性。指定按第一因子载荷降序的顺序输出旋转后的 因子载荷以及旋转后的因子载荷图。 4 计算因子得分 采用回归法估计因子得分系数，并输出因子得分系数。 5 各省市自治区的综合评价 可利用因子得分变量对地区进行对比研究。首先，绘制两
③Bartlett’s球度检验
以原有变量的相关系数矩阵为出发点，假设相关系数为单位
矩阵，如果该检验对应的P值小于给定的显著性水平a，则应拒 绝原假设，认为原有变量适合进行因子分析。
④KMO检验
该统计量取值在0-1之间，越接近于1说明变量间的相关性 越强，原有变量适合做因子分析。0.9以上表示非常合适；0.8-
5)计算因子得分
在因子分析实际应用中，当因子确定以后，便可计算各 因子在每个样本上的具体数值，这些数值称为因子得分，形 成的变量称为因子变量。计算因子得分的途径是用原有变量 描述因子，第j个因子在第i个样本上的值可表示为：
f j w j1x1 w j2 x 2 ... w jp x p （j =1、 2、 .... 、k）
SPSS统计分析方法及应用第七章
因子分析
8.1 因子分析概述
8.2 因子分析的基本内容
8.3 因子分析的基本操作及案例
1. 因子分析概述
1)因子分析的意义
在实际问题的分析过程中，人们往往希望尽可能多的搜
集关于分析对象的数据信息，进而能够比较全面的、完整的
把握和认识它。于是，对研究对象的描述就会有很多指标。 但是效果如何呢？如果搜集的变量过多，虽然能够比较全面 精确的描述事物，但在实际建模时这些变量会给统计分析带 来计算量大和信息重叠的问题。而消减变量个数必然会导致 信息丢失和信息不完整等问题的产生。 因子分析是解决上述问题的一种非常有效的方法。它以 最少的信息丢失，将原始众多变量综合成较少的几个综合指 标（因子），能够起到有效降维的目的。
0.9表示合适；0.7-0.8表示一般；0.6-0.7表示尚可；0.5-0.6
表示不太合适；0.5以下表示极不合适。
3)因子个数的确定方法
① 根据特征根确定因子数：一般选取大于1的特征根，还可规 定特征根数与特征根值的碎石图并通过观察碎石图确定因子数； ②根据因子的累计方差贡献率确定因子数：通常选取累计方差 贡献率大于85%的特征根个数为因子个数。
对于量表而言，因子分析的目地在于找出量表潜在 的结构，减少题项的数目，使之成为一组较少而彼 此相关较大的变量。
因子分析的特点
因子个数远远少于原有变量的个数；
因子能够反应原有变量的绝大部分信息； 因子之间不存在线性关系； 因子具有命名解释性。
2)因子分析的数学模型
数学模型
假设原有变量有p个，分别用 x1、x2、x3、、 ... x p
hi 2
2 a ij j 1
3、因子的方差贡献 因子方差贡献是因子载荷矩阵中第j列元素的平方和，反 映了第j个因子对原有变量总方差的解释能力。该数值越高， 说明相应因子的重要性越高。
S j 2 aij 2
i 1
p
2. 因子分析的基本内容
1)因子分析的基本步骤
①因子分析的前提条件 因子分析的前提条件是原始变量之间应存在较强的相关关系。 ②因子提取； ③使因子更具有命名可解释性； ④计算各样本的因子得分。
估计因子得分系数的方法有很多，通常采用最小二乘意 义下的回归法进行估计。
3. 因子分析的基本操作
【分析】----【降维】----【因子分析】
因子分ห้องสมุดไป่ตู้的应用举例
为研究全国各地区年人均收入的差异性和相似性，收集
到1997年全国31个省市自治区各类经济单位包括国有经济单
位、集体经济单位、联营经济单位、股份制经济单位、外商 投资经济单位、港澳台经济单位和其他经济单位的年人均收
入数据。由于涉及的变量较多，直接进行地区间的比较分析
较为繁琐，因此首先考虑采用因子分析方法减少变量个数， 之后再进行比较和综合评价。
1 考察原有变量是否适合进行因子分析
这里借助变量的相关系数矩阵、巴特利特球度检验和KMO 检验方法进行分析。 同时，由于数据中存在缺失值，采用均值替代法处理缺失 值。 2 提取因子 首先进行尝试性分析，根据原有变量的相关系数矩阵，采 用主成分分析法提取因子并选取特征根值大于1的特征根，输出 因子分析的初始解。 重新指定提取特征根的标准，指定提取两个因子。
在这个数学模型中，F称为公共因子，因为它出现在每个
变量的线性表达式中，简称因子。因子可理解为高维空间中 互相垂直的k个坐标轴；A称为因子载荷矩阵，a 载荷，是第i个原始变量在第j个因子上的负荷； 当于多元线性回归模型中的残差。
ij
因子，表示原始变量不能被因子解释的部分。其均值为0，相
称为因子 称为特殊
4)因子的命名
观察因子载荷矩阵，如果因子载荷的绝对值在第j列的
多个行上都有较大的取值，则表明因子fj能够同时解释许多 变量的信息，且对每个变量只能揭示较少部分信息，但不能 代表任何一个原有变量。这种情况下，因子fj的含义是模糊 不清的，为解决这个问题，可通过因子旋转的方式是一个变 量值在尽可能少的因子上有比较高的载荷。因子旋转一般采 用正交旋转使新生成的变量仍可保持不相关，正交旋转一般 采用方差最大法（varimax）。然后再根据各因子对各原始 变量的解释程度进行命名。
因子分析的几个相关概念
1、因子载荷
在因子不相关的前提下，因子载荷是第i个变量与第j个 因子的相关系数。因子载荷越大说明因子与变量的相关性越 强，所以因子载荷说明了因子对变量的重要作用和程度。 2、变量共同度 变量共同度也称为公共方差。第i个变量的共同度定义为 因子载荷矩阵中第i行元素的平方和，即：
2)因子分析的的前提条件
① 计算相关系数并进行统计检验 如果相关系数矩阵中的大部分相关系数小于0.3，那么这些 变量不适合进行因子分析。 ②计算反映象相关矩阵
MSAi
r r p
2 i j 2 ij i j ij i j
2
ij
其中rij 为第i个变量与第j个变量的简单相关系数； pij 为第i个变量与第j个变量在控制了剩余变量下 的偏相关系数。
表示，且每个变量的均值是0，标准差是1，现将每个原有变 量用k（k<p）个因子
f1、f 2、、 ... f k
的线性组合来表示，
即：
x1 a11 f1 a12 f 2 ......a1k f k 1 x2 a21 f1 a22 f 2 ......a2 k f k 2 ..................................................... x p a p1 f1 a p 2 f 2 ......a pk f k p 用矩阵表示为X AF
因子得分变量的散点图；其次，对各地区人均年收入进行综合
评价，采用计算因子加权总分的方法，以两个因子的方差贡献 率为权数。
练习
根据基本建设投资数据判断是否适合作因子分析，
如果可以作，提取几个因子比较合适？并对因子进
行命名，计算综合得分。
3 因子的命名解释
采用方差最大法对因子载荷矩阵实施正交旋转以使因子具 有命名解释性。指定按第一因子载荷降序的顺序输出旋转后的 因子载荷以及旋转后的因子载荷图。 4 计算因子得分 采用回归法估计因子得分系数，并输出因子得分系数。 5 各省市自治区的综合评价 可利用因子得分变量对地区进行对比研究。首先，绘制两
③Bartlett’s球度检验
以原有变量的相关系数矩阵为出发点，假设相关系数为单位
矩阵，如果该检验对应的P值小于给定的显著性水平a，则应拒 绝原假设，认为原有变量适合进行因子分析。
④KMO检验
该统计量取值在0-1之间，越接近于1说明变量间的相关性 越强，原有变量适合做因子分析。0.9以上表示非常合适；0.8-
5)计算因子得分
在因子分析实际应用中，当因子确定以后，便可计算各 因子在每个样本上的具体数值，这些数值称为因子得分，形 成的变量称为因子变量。计算因子得分的途径是用原有变量 描述因子，第j个因子在第i个样本上的值可表示为：
f j w j1x1 w j2 x 2 ... w jp x p （j =1、 2、 .... 、k）
SPSS统计分析方法及应用第七章
因子分析
8.1 因子分析概述
8.2 因子分析的基本内容
8.3 因子分析的基本操作及案例
1. 因子分析概述
1)因子分析的意义
在实际问题的分析过程中，人们往往希望尽可能多的搜
集关于分析对象的数据信息，进而能够比较全面的、完整的
把握和认识它。于是，对研究对象的描述就会有很多指标。 但是效果如何呢？如果搜集的变量过多，虽然能够比较全面 精确的描述事物，但在实际建模时这些变量会给统计分析带 来计算量大和信息重叠的问题。而消减变量个数必然会导致 信息丢失和信息不完整等问题的产生。 因子分析是解决上述问题的一种非常有效的方法。它以 最少的信息丢失，将原始众多变量综合成较少的几个综合指 标（因子），能够起到有效降维的目的。
0.9表示合适；0.7-0.8表示一般；0.6-0.7表示尚可；0.5-0.6
表示不太合适；0.5以下表示极不合适。
3)因子个数的确定方法
① 根据特征根确定因子数：一般选取大于1的特征根，还可规 定特征根数与特征根值的碎石图并通过观察碎石图确定因子数； ②根据因子的累计方差贡献率确定因子数：通常选取累计方差 贡献率大于85%的特征根个数为因子个数。
对于量表而言，因子分析的目地在于找出量表潜在 的结构，减少题项的数目，使之成为一组较少而彼 此相关较大的变量。
因子分析的特点
因子个数远远少于原有变量的个数；
因子能够反应原有变量的绝大部分信息； 因子之间不存在线性关系； 因子具有命名解释性。
2)因子分析的数学模型
数学模型
假设原有变量有p个，分别用 x1、x2、x3、、 ... x p