自适应控制基本原理-自校正控制

2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
A(z1) 1 a1z1 an zn B(z1) b0 b1z1 bn zn
记：
θ [a1, a2 ,, an ,b0 ,b1,,bn ]T
自校正控制
自校正控制
最小方差自校正控制器 极点配置自校正控制器 自校正PID控制
自校正控制
自校正控制系统又称自优化控制或模型辨识自适应控制。
通过采集的过程输入、输出信息，实现过程模型的在线辨识和参数估计。 在获得的过程模型或估计参数的基础上，按照一定的性能优化准则，计算控 制参数，使得闭环系统能够达到最优的控制品质。
矩阵求逆定理 设A 、C 和 BCD均为非奇异矩阵，则
A BCD 1 A1 A1B C 1 DA1B 1 DA1
(2.58)
令
P(N) ΦT (N)Φ(N) 1
(2.59)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
P(N 1) ΦT (N)Φ(N) (N 1) T (N 1) 1 P1(N) (N 1) T (N 1) 1
(2.45a) (2.45b)
(k) 为独立的随机噪声，要求其满足
E( (k)) 0
(2.46a)
2 E{ (i) ( j)}
i j
0 i j
(2.46b)
lim
1
N
(k)2
N N
k 1
(2.46c)
随机噪声的均值为零,彼此相互独立，方差为有限正值,噪声的采样均方值有界。
令： K(N 1) P(N) (N 1) 1 T (N 1)P(N) (N 1) 1
θˆ(N 1) θˆ(N ) K (N 1) y(N 1) T (N 1)θˆ(N )
(2.62)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
u(n 2)

u(2)



y(n N 1) y(N ) u(n N ) u(N )
y(N) Φ(N)θ(N) ξ(N)
(2.49)
θˆ (ΦTΦ)1ΦT y
(2.54)
增加一个新的观测数据 u(n N 1), y(n N 1) ,则
矩阵求逆定理
A BCD 1 A1 A1B C 1 DA1B 1 DA1
(2.58)
令
A P 1(N ) B (N 1) C I D T (N 1)
应用求逆矩阵定理，则
P(N 1) P(N) P(N) (N 1)1 T (N 1)P(N) (N 1) 1 T (N 1)P(N) (2.61)

y(n 1)
y(2)
u(n 2)

u(2)



y(n N 1) y(N ) u(n N ) u(N )
最小二乘参数估计原理就是从一组参数向量 θ 中找到的估计量 θˆ ，使得系统模型
误差尽可能地小,即式(2.51)所示的性能指标最小。
的参数 。
自校正控制系统目的：根 据一定的自适应规律，调 整可调控制器参数，使其 适应被控系统不确定性, 且使其运行良好。
常
规 控
v

－
制 w(t) ＋ 系
e
控制器
u
y(t)
被控对象
统
自
适
控制器参数
参数/状态
应
设计计算
估计器
机
性能指标
构
自校正控制系统结构图
2 自校正控制
2.1 概述
模型参考自适应控制和自校正控制系统结构的区别
y(1)
y(N 1)

y(N)
y(N)






y(N

1)
y(N 1)
Φ(N)
Φ(N

1)




T (N 1)
(2.55)
y(k) y(n k),k 1,2,, N 1
T (N 1) T (n N 1) [ y(n N ),, y(N 1), u(n N 1),,u(N 1)]
控制器 参数计算
过程模型 在线辨识
w(k )
可调控制器 u(k)
被控过程
y(k)
－
自校正控制系统结构图
2 自校正控制
2.1 概述
自校正控制系统由常规控制系统和自适应机构组成。
参数/状态估计器：根据系统输入输出数据在线辨识被控系统的结构或参数。 控制器参数设计计算：计算出控制器的参数，然后调整控制回路中可调控制器
y(n N ) a1 y(n N 1) an y(N ) b0u(n N ) bnu(N ) (n N )
(2.48)
矩阵向量形式:
y(N) Φ(N)θ(N) ξ(N) y＝Φθ＋ξ
θ [a1 a2 an b0 b1 bn ]T
N 2n 2
y(n 1) a1 y(n) an y(1) b0u(n 1) bnu(1) (n 1) y(n 2) a1 y(n 1) an y(2) b0u(n 2) bnu(2) (n 2)
y(n N ) a1 y(n N 1) an y(N ) b0u(n N ) bnu(N ) (n N )
系统未知参数的最小二乘辨识公式
θˆ(N 1) (ΦT (N 1)Φ(N 1)) 1ΦT (N 1) y(N 1)
(2.56)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
y(N 1)
y(1)
y(N)

y(N)




模型参考自适应控制系统： 常规控制系统 自适应机构 参考模型
自校正控制系统： 常规控制系统 自适应机构
参考模型
xm
＋
v

ex
－
u＋
＋ ＋ u
前馈控制器
被控对象
－
xs
w(t) ＋
e
控制器
u
y(t)
被控对象
＋
＋－
反馈调节器
自适应机构
控制器参数 设计计算
性能指标
参数/状态 估计器
模型参考自适应控制系统
自校正控制系统结构图


(N
1)

Φ(N ) 1 T (N 1)
ΦT
(N
)

(
N
1)

y(N) y(N 1)
ΦT (N)Φ(N) (N 1) T (N 1) 1 ΦT (N) y(N) (N 1)y(N 1) (2.57)
P(N 1)
则递推最小二乘算法公式(2.61)～(2.63)可以表示为
θˆ(k) θˆ(k 1) K (k)[y(k) T (k)ˆ(k 1)] K (k) P(k 1)(k) /[1 T (k)P(k 1)(k)] P(k) [I K (k)T (k)]P(k 1) θˆ(k) 为 k 时刻系统未知参数的估计值。
(k) [ y(k 1),, y(k n), u(k),,u(k n)]T
(2.44) (2.45a) (2.45b)
式(2.44)改写为向量形式
y(k) T (k)θ (k)
(2.47)
对输入输出观察了 N n 次，则得到输入输出序列为：
u(k), y(k) k 1,2,, N n
2 自校正控制
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
被控系统模型为一离散线性差分方程
A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
(2.44)
不可测随机干扰序列
k 时刻测量到的系统输出和输入
A(z1) 1 a1z1 an zn B(z1) b0 b1z1 bn zn
(2.48)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
y(n 1) a1 y(n) an y(1) b0u(n 1) bnu(1) (n 1) y(n 2) a1 y(n 1) an y(2) b0u(n 2) bnu(2) (n 2)
渐消记忆法:降低或限制过去数据的影响，提高新采集数据的修正作用.
基本思想是对过去数据乘上一个加权因子(0 1) ，按指数加权来人为地降低 老数据的作用。
Φ(N )
Φ(N

1)




T (N 1)
y(N )
y(
N
1)




如何解决上述问题？
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.2 递推最小二乘方法
y(n 1)
y(N)


y(n


2)


y(n

N
)
y(n) y(1) u(n 1) u(1)
Φ(N)

y(n 1)
y(2)
(2.49) (2.50) 最小二乘估计方程
y(n 1)
y(N)


y(n


2)


y(n

N
)
(n 1)
ξ(N)

(n
2)

(n N )
y(n) y(1) u(n 1) u(1)
Φ(N)
(k) [ y(k 1),, y(k n), u(k),,u(k n)]T
(2.64)
通常： P(0) 2 I
θˆ(0) 0
较大的数值
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.3 渐消记忆最小二乘方法
随着观测数据和递推次数的增加，新的采样数据对参数估计值的修正作用会 越来越微弱，最后甚至不再起到修正作用，即会出现所谓的“数据饱和”现象。
K(N 1) P(N) (N 1) 1 T (N 1)P(N) (N 1) 1
(2.63)
θˆ(N 1) θˆ(N ) K (N 1) y(N 1) T (N 1)θˆ(N )
(2.62)
P(N 1) P(N) P(N) (N 1)1 T (N 1)P(N) (N 1) 1 T (N 1)P(N) (2.61)
θˆ(N 1) ΦT (N)Φ(N) (N 1) T (N 1) 1 ΦT (N) y(N) (N 1)y(N 1) (2.57)
P(N 1)
θˆ(N 1) θˆ(N) P(N) (N 1) 1 T (N 1)P(N) (N 1) 1 y(N 1) T (N 1)θˆ(N)


y(N

1)
y(N 1)
Φ(N)
Φ(N

1)




T (N 1)
θˆ(N 1) (ΦT (N 1)Φ(N 1)) 1ΦT (N 1) y(N 1)
(2.55) (2.56)
θˆ(N

1)


ΦT
(
N
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nN
J [ y(k) (k)T θˆ]2 k n1
(2.51)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
y(N) Φ(N)θ(N) ξ(N)
nN
J [ y(k) (k)T θˆ]2 k n1
(2.49) (2.51)
J ( y Φθˆ)T ( y Φθˆ)
J θˆ

θˆ
[(
y
Φθˆ)T
(y
Φθˆ)]
2ΦT
(y
Φθˆ)

0
ΦT Φθˆ ΦT y
(2.52) (2.53)
则
θˆ (ΦTΦ)1ΦT y
(2.54)
θˆ ：未知参数 θ 的最小二乘估计。
随着测量得到的过程数据信息的增多，在利用基本最小二乘方法来完成每次 的参数估计时，计算量将不断增大。