利用空间向量求空间角N

高二二部数学学案NO.29

立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角

设计人：李凤英审核人：苏瑞娟时间：12.31

【课程标准】

能用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用

【学习目标】

1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面

角的向量方法；

2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

【自主学习】

1.异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？

2.两向量的夹角的范围是什么？

3、向量的有关知识

（1）两向量数量积的定义：

（2）两向量夹角公式：

（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？

【典型例题】

例1.在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，现将△AOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置，已知OA=OB=O O 1，取A 1B 1 、A 1O 1的中点D 1 、F 1，求异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值。

例2．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、DD 1的中点，

(1)求直线B 1C 1与平面AB 1C 所成的角的正弦值;

(2)求二面角F-AE-D 的余弦值。

A

A 1

C 1

B 1

D

C B

D 1

E F

A

B

O

B 1

O 1

F 1

A 1

D 1

例3 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B

处.从A ，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC 和BD 分别为 a 和b,CD 的长为c , AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

α

β

A

C

B D

巩固练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，

SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求

⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；

⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值.

O

A B C

S

教学过程 一、复习引入

1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

α

β

A

C

B D

（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

二、知识讲解与典例分析

知识点1、异面直线所成的角（范围：

）

（1）定义：过空间任意一点

o

分别作异面直线a 与b 的平行线a´

与b´，那么直线a´与b´ 所成的不大于90°的角

，叫做异面直线a 与b 所成的角。

（2）用向量法求异面直线所成角

设两异面直线a 、b 的方向向量分别为

和 ，

⎥

⎦⎤

⎝⎛∈2,0πθθa ´

b

´ •

o

θ

问题1 当m与的夹角不大于90°时，异面直线a

、b所成的

角与

m

和

的夹角的关系？ 相等

问题 2 当m 与n 的夹角大于90°时，异面直线a 、b 所成的角

与

m 和 的夹角的关系？ 互补

所以，异面直线a 、b 所成的角的余弦值为

典型例题1：在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，现将△AOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置，已知OA=OB=OO 1，取A 1B 1 、A 1O 1的中点D 1 、F 1，求异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值。

解：以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则

A(1,0,0) B(0,1,0) F 1(21

,0,1) D 1(21 , 2

1 ,1)

=

= n m , cos cos θ

2

2

22222121212

12121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=

),1,0,21(1-=∴AF )

1,2

1

,21(1-=BD θ

所以，异面直线BD 1与AF 1

所成的角的余弦值为

=

⋅=BD AF =⋅++-

2

3451041

103010

30

知识点2、直线与平面所成的角（范围： ）

据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为 = 典型例题

2:正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、DD

1的中点，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ

θsin

(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;