同济六版高数第四章第1节课件

4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
一、原函数与不定积分的概念
微分法: F(x) ( ? )
互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
一、原函数与不定积分的概念
❖原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对
任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx,
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
(3)
1 x
dx
ln
|
x|C
,
(4) exdx ex C ,
(5)
a
xdx
a ln
x
a
C
,
(6) cosxdx sin xC ,
(7) sin xdx cosxC ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
(10)
1 1 x2
dx
arctan
x
C
,
(11)
1 dxarcsinxC , 1 x2
如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有
F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数.
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限 多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
x(t).
由
dx dt
v(tg)t v0
,
知
x0 x(0)
o
x(t)
(g t
v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
❖微分与积分的关系 从不定积分的定义可知
(12) secx tan xdx secxC ,
(13) cscxcotdx cscxC ,
(14) sh x dx ch xC ,
(8) sec2 xdx tan xC ,
(15) ch x dx sh xC .
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
例例44
1 x3
dx
x3dx
1 31
x31
C
1 2x2
2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则
(x)F(x)C (C为某个常数).
证: 1)
又知 故 即
即 属于函数族
❖不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
f (x)dx .
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
f (x)dx F(x)C .
C 称为积分常数 不可丢 !
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F(x)C .
例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
当 x<0 时,
[ln(x)]
1 x
(1)
1 x
,
1 x
dx
ln(x)
C
(x<0).
合并上面两式, 得到
1 x
dx
ln
|
x|C
(x0).
例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为
yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为
2xdx x2 C ,
故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C.
因所求曲线通过点(1, 2), 故
y
21C, C1. 于是所求曲线方程为yx21.
(1, 2)
o
x
•积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 函数f(x)的积分曲线也有无限
设时刻 t 质点所在位置为 x x(t), 则
x
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x x(t)
x0 x(0) o
先求 v(t). 由 d v g, 知 dt
v(t) ( g) d t gt C1
x x x(t)
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例
因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数.
因为 ( x) 1 , 所以 x 是 1 的原函数.
2x
2x
提问：cos x 和 1 还有其它原函数吗？ 2x
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? ❖原函数存在定理
f (x)dx .
不定积分中各部分的名称：
------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量.
❖不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率.
2x的积分曲线
例3. 质点在距地面x0 处以初速 v0 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v0 .
C
.
例例55
x2
5
xdx x2dx
1
x
5 2
1
C
5 1
2
x
7 2
C
7
.
2
2 x3 x C . 7
例例66
d dx
[
f
(x)dx]
f
Leabharlann Baidu
(x)
,
或
d[
f
(x)dx]
f
(x)dx
又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以
F(x)dx F(x)C , 或记作 dF(x) F(x)C .
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.
二、基本积分表
(1) kdx kxC (k 是常数),
cosxdx sin xC .
因为 x 是 1 的原函数, 所以 2x
1 2
x
dx
x C .
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F(x)C .
例例22. 求函数 f (x) 1 的不定积分. x
解解：当 x>0 时, (ln x) 1 , x
1 x
dx
ln
xC
(x>0)