时间序列ARMA模型

ARMA （p,q ）时间序列模型
1、 ARMA 模型的构建：
①AIC 定阶准则：选p , q,使得
2
^min()ln 2(1)AIC n p q εσ=+++ (1)
其中：n 是样本容量；2
^εσ是2εσ的估计，与p , q 有关。

若当^^
,p p q q ==时， 式(1)达到最小值，则认为序列是ARMA （^
,p ^
q ） 当ARMA （^
,p ^
q ）序列含有未知参数μ时，模型为
()()(),t t B X B ϕμθε-= (2)
这时应选取p,q ，使得
2
^min()ln 2(2)AIC n p q εσ=+++ (3)
②ARMA 模型的参数估计
一般使用MATLAB 工具箱给出相关参数估计。

方法有有炬估计、逆函数估计、最小二乘法、最大似然估计等。

③ARMA 模型的2χ检验
若拟合模型的残差记为^
t ε，即t ε的估计值。

记
^
^
1
2^1
,1,2,,,n k t
t k
t k n t
t k L ε
εηε
-+===
=∑∑ (4)
则2χ检验统计量是
2
2
1
(2)L
k k n n n k
ηχ==+-∑
(5)
L 是^
t ε自相关函数的拖尾数。

检验的假设是
0:0,k H ρ=当k L ≤时； 1:H 对某些,0k k L ρ≤≠。

在0H 成立时，若样本容量n 充分大，2χ近似于2()L r χ-分布，其中r 是估计的模型参数个数。

2χ检验法：
给定显著性水平α，查表的上α分位数2()L r αχ-，当22
()L αχχ≥时拒绝0H ，
认为t ε非白噪声，模型检验未通过；而当22
()L r αχχ≤-时，接受0H ，认为t ε是
白噪声，模型通过检验。

2、 ARMA （p,q ）序列的预报
时间序列的m 步预报，是根据1{,,}k k X X - 的取值对未来k+m 时刻的随机变量k m X +（m>0）做出估计。

估计量记作1,,k k X X - 的线性组合。

^
^
^
^
12()(1)(2)(),.k k k k p X m X m X m X m p m p ϕϕϕ=-+-++-> (6)
计算递推式为：
^
1112^
^
212^
^
^
^
121^
^
^
^
12(1),(2)(1),
()(1)(2)(1),()(1)(2)(),.
k k k k p p k k k k p p k k k k k p p k k k k p X X X X X X X X X p X p X p X X X m X m X m X m p m p ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-=+++=+++=-+-+++=-+-++->
(7)
关于MA （q ）序列
{,0,1,2,}t X t =±± 的预报，有
^
()0,.k X m m q =>
因此，只需讨论^
(),1,2,,k X m m q = 。

为此，定义预报向量
^
^
^
^
()[(1),(2),,()]T k k k k X q X X X q = .(8)
令
*,1,2,,,
0,.
j j
j p j p ϕϕ=⎧⎨
>⎩
可得到下列递推预报公式：
1
122()^()111
1**
**121*11100001000010q q k k k q q p q
q q q q j k q j j q G G G G X X X G G G G X ϕϕϕϕϕ++----++-=+⎡⎤
⎢⎥⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
∑ (9) 其中：j G 满足0
t j t j j X G ε∞
-==∑。

式（9）中第三项当p q ≤时为0。

由可逆性
条件保证，当0k 较小时，可令初值0()
^0q k X =。