五大策略优化解析几何运算.

五大策略优化解析几何运算

解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点和难点，也是历年高考的热点. 在实际解题中，解析几何问题中的运算往往无处不在. 掌握运算方法，优化运算过程，提高运算速度，是解好解析几何问题的关键。

策略1 回归定义

运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来，可使问题解决起来思路清晰、运算过程简捷明快.

例1 在椭圆19

25=+y x 上求一点P ，使点P 到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍. 分析 设P （x 1，y 1），根据题设条件，点

P 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+2

1212121

11)4(4)4(1925y x y x y x 这是一个复杂的运算. 如何简化呢？根据椭圆的第二定义，可以得到焦半径公式，这样求解起来就简单很多.

解 由椭圆方程知F 1（-4，0），F 2（4，0），e=

4

5=a c . 设所求点P （x 1，y 1），依题意点P 在y 轴的左侧，则x 1<0，焦半径|PF 1|=a+ex 1=5+154x ，|PF 2|=a-ex 1=5-154x . 由题意有4（5+154x ）=5-154x ，∴x 1=4

15-，从而y 1=.473± 故所求点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--473,415••或⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-473,415••. 点评 凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题，往往与定义有关，求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径.

策略2 借助平几

解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些解析几何问题借助平面几何知识简化运算，起到事半功倍的效果.

例2 已知圆C ：（x-3）2 +（y-4）2 =4，直线l 1过点A （1，0），且与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x+2y+2=0的交点为N. 求证：AM·AN 为定值.

分析 若设l 1方程为y=k(x-1)，代入圆方程C ，用k 表示出弦PQ 中点M 的坐标，再求出l 1与l 2的交点N 的坐标，最后代入计算AM·AN 的值. 则显得比较繁冗，如果能充分考虑题中条件的平面几何背景，注意到AC 所在直线与l 2的垂直关系，利用相似三角形知识求解，则显得非常简便.

证明 由两点式得AC 所在直线的方程1

31040--=--x y .即2x -y -2=0. 又l 2方程为x+2y+2=0.

∴AC ⊥l 2.如图1，设垂足为B ，再由M 为弦PQ 中点知CM ⊥PQ ，

故△AMC ∽△ABN ，∴AN

AC AB AM =，

图1

则AM·AN=AB·AC=.652534)13(21|

21|222=•=+-•++

∴AM·AN 为定值.

点评 本题从条件中挖掘得出AC ⊥l 2，是使命题顺利得证的关键一步.

策略3 设而不求

解析几何中有些问题，若把所涉及的量全部计算出来再加以解决，有时反显得多余而低效. 设而不求，尽显方法之绝妙，是优化运算、提高解题效率的重要策略.

例3 已知直线l 交双曲线14

52

2=-y x 的右支于M 、N 两点，定点B （0，4）. 若△BMN 的重心为双曲线的右焦点. 求直线l 的方程.

解 双曲线的右焦点F （3，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由F 为△BMN 的重心得3321=+x x ，.03

421=++y y 于是x 1+x 2=9，y 1+y 2= -4. ∴ 线段MN 中点P 的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-2,29••.又M 、N 在双曲线上， ∴,1452121=-y x ① .14

52222=-y x ② ①－②得

5

9)4(594)(5)(421212121-=-⨯⨯=++=--=y y x x x x y y k MN . 故直线l 的方程为y+2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2959x , 即18x+10y-61=0. 点评 上述解法中涉及M 、N 两个点坐标的4个参数，但本题目标是求直线l 的方程，故只需求出MN 中点P 的坐标和l 的斜率. 故设而不求，在解题中只让这些参数体现其桥梁和纽带作用.

策略四 合理引参

处理解析几何问题，恰当地引入参变量，把许多相关或不相关的量统一在一个参数下，往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用.

例4 已知椭圆14

92

2=+y x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于P （x 0，0）. 试求x 0的取值范围.

分析 若用常规方法求解，涉及A 、B 两点和线段AB 的中点M 的坐标共6个参变量，头绪繁多，需不断进行思维转换. 如引入参数，则不但可以减少变量个数，同时也能优化问题的结构关系，从而便于化简运算.

解 设A （3cos 1θ，2sin 1θ），B （3cos 2θ，2sin 2θ），由|PA|2+|PB|2可得

,)sin 2()cos 3()sin 2()3(2222021210θθx θθx +-=+-cos

即5（cos 21θ-cos 22θ）=6x 0（cos 1θ-cos 2θ）.

∵ AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 与y 轴不平行，即cos 1θ≠cos 2θ，

所以有cos 1θ+cos 2θ∈（-2，2）.从而，.35,35)cos (cos 65210⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∈+=•θθx 点评 凡涉及曲线上点的坐标问题，采用合理引参，这是解析几何中求取值范围或求最值时的重要策略，其优点是能使解题思路清晰，加之三角知识的合理运用，使运算简捷流畅，对问题的顺利解决起到出奇制胜的效果.

策略五 整体代换

解析几何的许多问题，常需在解题中把某个相关的式子看作整体，并将其代入另一式子，这种整体代换的做法有利于看清问题的本质，找出内在规律，更有利于简化运算环节，使问题轻松获解.

例5 已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

分析 常规解法是设所求直线l 存在，方程为y=x+b ，将其与圆的方程联立，用l 的斜率k 表示出x 1，x 2和y 1，y 2，然后代入x 1x 2+y 1y 2=0，求得k 值，再检验所求得的k 是否适合题意，从而确定l 存在与否？相对而言，运算量较大. 如果设出以AB 为直径的圆的方程，