三角函数必背公式及解题技巧

三角函数必背公式及解题技巧

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =

αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =

αtan 余切：y x =αcot 正割：x

r =αsec 余割：y r =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．

线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。 商数关系：αααcos sin tan =，α

ααsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- (平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-

五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

α

αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

三倍角公式

3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33

ππθθθθθθ=-=-+ 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33

ππ

θθθθθθ=-=-+ 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33

θθππθθθθθ-==-+-

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α

αα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式 sina=2)2(tan 12tan

2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2

)2

(tan 12tan 2a a - 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．

来表示。 七、和差化积公式

2cos

2sin 2sin sin βαβ

αβα-+=+ …⑴ 2

sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- …⑵ 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶

2sin

2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- …⑷ 了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22

sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2cos 2cos 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++= 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=

⋅ [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=

⋅ [])cos()cos(2

1cos cos βαβαβα-++=⋅ [])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-

=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （）

其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，

22sin b a b

+=ϕ，22cos b a a +=ϕ，a

b =ϕtan 。 十、正弦定理

R C

c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 十一、余弦定理

A bc c b a cos 2222⋅-+=

B ac c a b cos 2222⋅-+=

C ab b a c cos 2222⋅-+=

十二、三角形的面积公式 高底⨯⨯=

∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===

∆（两边一夹角）

R abc S ABC 4=

∆（R 为ABC ∆外接圆半径）