高数二重积分习题加答案
第九章-二重积分-复习题答案
第九章 二重积分 复习题答案一、单项选择题1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则()⎰⎰+Dd y x f σ22=（ C ）A.()dr rf d ⎰⎰πθ012B. ()rdr r f d ⎰⎰-22sin 402ππθθC.()rdr rfd⎰⎰-22cos 402ππθθ D.()dr r f d ⎰⎰-22cos 402ππθθ2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，则=+⎰⎰σd y x f D)(22（ A ）。
A 、 10()d rf r dr πθ⎰⎰ B 、2100()d rf r dr πθ⎰⎰C 、10()d f r dr πθ⎰⎰ D 、210()d f r dr πθ⎰⎰3、设22:14, D x y ≤+≤则2Ddxdy =⎰⎰（ D ） A.3π B.4π C.30π D.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则Ddxdy =⎰⎰（ A 、12 B 、14 C 、1 D 、325、设积分区域D 是由圆22x y Ry +=围成，则二重积分22()Df xy d σ+=⎰⎰（ D ）A 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰B 、22sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰ C 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰D 、2sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰6、若{}22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分Dd σ⎰⎰＝（ C ）A.2π B. 2πC. πD. 3π二、填空题：1、变换二次积分⎰⎰⎰⎰-+=21201),(),(yy dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则=I ⎰⎰-=12),(xxdy y x f dx I ；2、改变二次积分210(,)y y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则I = ⎰⎰1),(xxdy y x f dx ；3、改变二次积分210(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分次序，可得21(,)x dx f x y dy ⎰⎰=_______⎰⎰11),(ydx y x f dy ;4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则⎰⎰=Ddxdy 25、交换二次积分1(,)00yI dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =⎰⎰11),(xdy y x f dx ___;三、计算题：1、求⎰⎰+Ddxdy y x )2(，其中D 是由曲线2x y =和0=+y x 围成的闭区域. 101|)1022()2223(|)22()2()2(:0154314320120122-=---=⋅---=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dxy xy dy y x dx dxdy y x xx Dxx解2、求σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。
二重积分(习题)
；.第九章 二重积分习题9-1 1、设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4; (II)⎰⎰--D d y x R y σ222; (III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解：令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,；.(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x xy y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解：由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(, 其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .；.解：由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y xI σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ＝.；.习题9-21、计算下列二重积分： (1)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ； 解：38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ. (2)⎰⎰+Dy xd xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；解：⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy x Ddx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；解：320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x x Dσ. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域. 解：πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域；；.解：556)(3210447102=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y xxxDσ.(2)⎰⎰Dd x yσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域； 解：492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ.(3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+Dyx d e σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=10110111x x y x x x yx Dyx dy e dx dy edx d eσee e e e e dx e e dx e ex x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+.a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,；.即12(,)()()b da c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b adcb ad cDdy y f x f dx dx y x f dx d y x f )()(),(),(21σ1212()()()()b d b da c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；图形>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y exdx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域；图形>plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);；.解：⎰⎰⎰⎰-----==aay a a xa x a dx y x f dy dy y x f dx I 2222220),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.图形> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);解：319201(,)(,)y yyyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)⎰⎰10),(yydx y x f dy ；解：⎰⎰=102),(xx dy y x f dx I .；.(2)⎰⎰10),(ee ydx y x f dy ；解：⎰⎰=exdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ；解：⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ；；.解：⎰⎰-=102),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-πsin 2sin),(xx dy y x f dx ；图形> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xaaxx ax dy y x f dx dy y x f dx .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a aydx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.图形> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(xyDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y .；.7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.图形> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x): display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V xDσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin500sin10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.图形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20); 解：)(70028)20sin500sin10(3200500m dy x y dx zd V D=+==⎰⎰⎰⎰ππσ.9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解：⎰⎰-=220)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=；图形> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1); 解：y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .；.(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.图形> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1); 解：2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ；图形> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdr r r f d rdr r r f d I .(2)⎰⎰--+111222)(x xdy y x f dx ；图形> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：；.(1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(；图形> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解：22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =, 于是 4204420cos 20343cos 4a a dr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰. (2)⎰⎰+13221xxdy yx dx ；图形> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I .(3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 230222303302222.图形> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是3603602183a d a dr r d I aπθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题： (1)⎰⎰--D d y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .；.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；图形> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解：)12ln 2(4)1ln(2012-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd xyσarctan,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);解：240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)⎰⎰Dd yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域； 图形> plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1); 解：49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I xx. (2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ； 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；；.图形> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1); 解：4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I aaaayay =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x . 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I .14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--.15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r+米,试求该水池的蓄水量. 图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr rd V (米3).16、讨论并计算下列广义二重积分：(1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy yx dx I q p q p q x q p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且；.))(1(1q p q I --=.(2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ； 解：1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ.即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。
二重积分(习题)
v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解：因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解：令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解：因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解：因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值：(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ；解：因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ；解：因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ；解：因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100＝ 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分：(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ；D解：y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ；D解：22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区；D解：(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解：dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分：(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区；D1x2 17 6解：44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区；Dx解：y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区；Dx12 )dy解：(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解：e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明：f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是：(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区；图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解： Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区；图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解： Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解： I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序：1 (1)dy解： I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ；y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ；e ln x解： I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ；0 2 y解： I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ；11 2 y 解： Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ；图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解： I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解： I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解： m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解： V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解： V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是：(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0)；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解： I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y；图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解： x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ；x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解： yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分：11(1)dx f ( x, y)dy ；图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解： x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ；(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解： y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值：2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ；(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解： y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ；(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解： x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解： x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题：(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ；D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区；图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解： I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解： I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题：(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区；y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解： I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ；D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解： I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区；图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解： I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解： I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解： V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分：d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ；(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解： Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21}；(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解： I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。
高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222d ,{(,)|}DV x y D x y x y R ==+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1) D σ，其中D 为222x y a +≤；(2)(Db σ⎰⎰，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1)32π3Da σ=；(2)232(ππ3Db a b a σ=-⎰⎰ 所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d DQ x y μσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d Dp g x ρσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1) 21()d DI x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；(2) 1ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3) 21sin ()d DI x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域；(4) 1e d xy DI σ=⎰⎰与22e d xy DI σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2；(4) 在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44DI x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x yσ==+≤++⎰⎰；(4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故816ln 2ln 2I <<；(2) 由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不恒成立，故22π42I <<；(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故115150I <<； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为100251I << (4) 由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故14ππe44I <<． 所属章节：第九章第一节 难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得222220011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r rσξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰． 所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰；(2) 若(,)d 0Df x y σ=⎰⎰，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是1(,)d 0D f x y σ>⎰⎰，而1(,)d 0D D f x y σ-≥⎰⎰，所以11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0Df x y σ>⎰⎰，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节 难度：二级9．计算下列二重积分： (1) πsin d ,(,)12,02Dx y D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (2) {}22(e )d ,(,)11,01x y D xyD x y x y σ++=-≤≤≤≤⎰⎰；(3) {}2e d ,(,)01,01xy Dxy D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰； (4) 22πsin()d ,(,)0,022Dx y xy D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (5){}2222d ,(,)2,2Dx D x y xy x y x σ=+≥+≤⎰⎰解答：(1)222113sin d sin 2Dx y dx x ydy xdx πσ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)22111112222221111(1)(e)d ()(1)22x yx yx yxD e xydx xy edy dx edy e e dx eσ+++----+=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)2211101d )(1)122xy xyx Dexye dx xye dy e dx σ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (4)22222222001sin()d sin()(cos 4)216D xy xy dx x y xy dy x x x dx πππσ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)11112Dxd dy xdx πσ--===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种次序不同的二次积分：(1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成 解答：本题图略，建议画出 (1) 2ln ln 221(,)(,)y xedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；(2)2313219231(,)(,)(,)y xxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰；(3) sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4)3301111(,)(,)(,)(,)x xyxxydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案3111111d (,)d d (,)d xx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5)1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级11．计算下列二重积分： (1) 22d D x yσ⎰⎰，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成； (2) cos()d d Dx x y x y +⎰⎰，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3) Dσ⎰⎰，D由抛物线y =y =x 2围成； (4) d d Dxy x y ⎰⎰，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成； (5)sin d Dx y σ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成 解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2)0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(3)2711440026()355xD dx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰； (4)22222411145(44)28y y Dxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰； (5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰；(2) 212201d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3) 2122d (,)d yy y f x y x --⎰⎰；(4)2d (,)d x f x y y ⎰；(5) 11d (,)d x x f x y y -⎰(6)132d (,)d y y f x y x -⎰解答：本题图略，建议画出 (1) 210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰；(2) 12(,)y dy f x y dx -⎰；(3) 14 20 1(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；(4)11 1 21 1 0(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 01110(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰；(6)2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级13．计算下列二次积分：(1) 1/3110d yy x ⎰⎰；(2) 23211d e d y x x y --⎰⎰；(3) ππ220sin d d yxy x x⎰⎰； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5)π12arcsin d cos yy x ⎰⎰；(6)24212ππd d d d 22xx x x y x y y y+⎰⎰解答：(1)31/1111000016x y dy dx x ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 222322124110001(1)2y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x y xx dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 222222202sin()2sin()[22cos()]4sin 4y xdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5)1sin 2220arcsin 0cos cos sin cos xydy dx x πππ==⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )1)33x π=-+=；(6)22422231211284sincos2222xy yxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分： (1) 222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰； (2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰； (3) 2222(1)arcsin d ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4)(||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2RDD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰；(4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级15．利用极坐标化二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰为二次积分，其中积分区域D 为：(1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2) 2π21d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4)3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5)π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1) 22d ,:Dx y D x y Rx +≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰； (3)22arctand d ,:14,0,Dyx y D x y y y x x≤+≤≥≤⎰⎰；(4)2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰；(5) arctan22,:14,yxDD x y x y σ≤+≤≤≤(6)22()d d Dx y x y +⎰⎰，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线,x y ==所围成．解答：(1)cos 33322022114d (1sin )()333R Dx y d R d R ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰；(2)223424440()4cos 28Dx y dxdy d dr a d a πππθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444448cos (cos cos )332Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5)arctan233414yxDd e dr e e πππθπσθ==-⎰⎰；(6)4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (28Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) π200d (,)d (0)f r r a θθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)af r r a θθθ<<⎰⎰；(4)π4cos 0d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1)arccosarccosd (,)d r aa ra r f r θθ-⎰⎰；(2) 2222πarcsin 210arcsin 2d (,)d r aa r ar f r θθ⎰⎰；(3) 0d (,)d aa rr f r θθ⎰⎰；(4)ππ44arccosd (,)d d (,)d aa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级18．计算下列二次积分：(1) 221d d xy x y +⎰；(2) 0d d yyy x x；(3) 20d x y ⎰；(4)1223/201d )d x x x y y --+⎰．解答：(1)22211221(1)24x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ+--===⎰⎰⎰⎰；(2)21242000011264yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ===⎰⎰⎰；(3)22cos 232200816cos 39dx d r dr d ππθθθθ===⎰⎰⎰⎰；(4)11223/2222110sin cos )(sin cos 1)22xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ---++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级19．计算下列二重积分： (1)22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}x y Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰； (3) ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰；(4)d ,:{(,)|11,02}Dx y D x y x y -≤≤≤≤．解答：(1)222211max(,)1xyx y x y D edxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)22232222221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)211152223x xDdx dx π=+=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节 难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题： (1)22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成；(2) Dσ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (3) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4)d d Dxy x y ⎰⎰，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y x y x y x =≥+≥+≤． 解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2)2220(2)28D Dx d d y ππππσσθ-===⎰⎰⎰⎰⎰； (3)3222220()()14a xx aDx y dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分： (1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分； (2)22d d Dx y x y ⎰⎰，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 2222()d d Dx y x y a b +⎰⎰，D 是椭圆形闭区域22221x y a b +≤；(4) e d d x yDx y +⎰⎰，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形； 参考答案：(1)π(1cos1)24-(提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)； (2) 7ln 23(提示：作变换,yxy u v x ==)；(3) 1π2ab (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)；(4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则16J r =，1222201sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换,y xy u v x ==，则12J v=， 2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰；(4) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =， 111111ed d 2x yuDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰． （原参考答案有误？）所属章节：第九章第二节 难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2) D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7) D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1) 1e e 2-+-；(2)16；(3) 4；(4) 4π3+；(5) 5π6+；(6) 25π8a ；(7) 18解答：(1) 1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 201021111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3) 双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，44048cos24DA dxdy d d ππθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰4π3+；(5) 221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰5π6+ (6) 曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 2622024cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰25π8a ； (7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节 难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1) Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2) Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；(3) 22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤； (4) 222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤； 参考答案：(1)163；(2) 14；(3) 7π6；(4) 8π3解答：(1) 2221623DV dy ====⎰⎰⎰； (2) 21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰；(3) 2122207[(1()](1)6DV x y dxdy d r rdr ππθ=-+=+=⎰⎰⎰⎰；(4) 220822423xyD V d rdr πππθπ=⋅-=-=⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级25．设f (x )连续，证明：221()d d (x y f x y x y f u u +≤+=⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则12J =，22221211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bbbbb aaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bb a af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()bbaaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为1122y x c c=-，由对称性知所围图形面积为21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c--==+⎰⎰，令0dAdc=，得唯一驻点c =（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当c =所属章节：第九章第二节难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤≤≤=≤≤--≤≤，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy =-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy =-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1()d f x x A =⎰，求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()d x yz v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1]解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1222130()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节 难度：一级33．将三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：(1) 2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2) Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3) 22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4) Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域 解答：(1) 22222220d d (,,)d RR x R x y RR x x y f x y z z ------⎰⎰⎰；(2) 222410240d d (,,)d x x y x x y f x y z z -++---⎰⎰⎰；(3) 22222211211d d (,,)d x x y x x y x y f x y z z ------+⎰⎰⎰；(4)110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节 难度：二级34．计算下列三重积分： (1)d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是在平面z =x +2y 下放，xOy 平面上由y =x 2、y =0及x =1围成的平面区域上方的立体； (2) e d x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是在平面x +y +z =1与三个坐标面围成； (3)sin()d d d x y z x y z Ω+⎰⎰⎰，其中 π{(,,)|0,0}2x y z x y z y Ω=≤≤≤≤- (4) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中由曲面y 2+z 2=9与平面x =0、y =3x 和z =0所围成的空间立体；(5) 222d d d 1xyz x y z x y zΩ+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y z Ω=≥≥++≤； (6)d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由抛物面x =4y 2+4z 2与平面x =4围成 参考答案：(1) 528；(2) e 12-；(3) π142-；(4) 278；(5) 0；(6)16π3解答：(1) 528； (2)e12-；(3)π142-； (4) 278；(5) 0；(6) 16π3所属章节：第九章第三节 难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题： (1) 计算三重积分sin d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =和平面z =π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x 2+y 2–z 2=R 2和平面z =0，z =H 围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的区域222{(,)|}D x y x y R =+≤，当垂直于x 轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,,)1xx y z Rρ=+，试求其质量； (4) 试求立体2222(,,)1x y x y z z a b Ω⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1) π2–4π；(2) 231ππ3R H H +；(3) 3；(4)20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解答：(1)230sin d sin sin 4zD z v zdz dxdy z z dz ππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同(2) 2223001()3zHHD V dv dz dxdy R z dz R H H πππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 223(,,)(1)(1))xR R R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所属章节：第九章第三节难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1) 22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤； (2) 32()d d d x xy x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成；(3) v Ω，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--；(4) d d d y x y z Ω⎰⎰⎰，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+； (5)d xy v Ω⎰⎰⎰，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成 解答：(1)222222230010()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3) 223932403242(9)5r v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-==-=⎰⎰⎰⎰； (4) d d d 0y x y z Ω=⎰⎰⎰； (5)d 0xy v Ω=⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第四节难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分：(1) v Ω⎰⎰⎰，其中2222:x y z a Ω++≤；(2)2222()e d x y z x v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分； 卦限？ (3)2d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是0z ≤≤(5)v Ω，其中Ω是锥面π6ϕ=上方与上半球面ρ=2所围立体 解答：(1)22220sin 44(22)8aar r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰；(3)122222232200221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰2(4ln 22ln 2)4π=--；(5)223660sin 8sin 4(2v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1) 222212223/21d ()d x y x yx y x y z ---++⎰⎰；(2) 221d d x y y x xyz z +⎰；(3) 330d x y z -⎰；(4)32220d )d y x x y z z ++⎰；参考答案：(1)8π35；(2) 196；(3) 243π5；(4)1)π5- 解答：本题图略(1) 用柱面坐标，222222122121223/234618d ()d 4()35x y r x y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ----++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，22211222000011d d sin cos sin cos 4896rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，3234223000243243d sin cos sin 255x y z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，322242401)d )d sin 5y x x y z z d d dr ππθϕϕπ++==⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第四节 难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分： (1) 2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面z =及平面z =0所围成；(2) ()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中{(,,)|11x y z z Ω=≤≤； (3) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成；(4)2221d v x y z Ω⎫⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成； (5)2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分 解答：(1) 用柱面坐标，22202d 16(1sin )48z v d zdz d ππΩθθθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，21101()d (sin cos )0x y v d rdr dz πΩθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，2142041d 238r z v d zdz ππΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1224cos 222200611d []sin v d d r r dr x y z r ππϕπΩθϕϕ⎫=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln 3ln 2)27π-=+-； (5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy 面上的投影222)23(R y x ≤+，在柱面坐标下积分区域可表示为2222 ,230 ,20 :ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩR R z R R R ，所以2220R z dv d d dz πθρρΩ=⎰⎰⎰⎰5230322232248059])()[(312R d R R R R πρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，222202d zzR RR D D z v dz z dxdy dz z dxdy Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()RRR z Rz z dz z R z dz ππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=． 所属章节：第九章第四节 难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1) Ω由柱面x =y 2和平面z =0及x +z =1围成的立体； (2) Ω由抛物面z =x 2+y 2和z =18–x 2–y 2围成的立体；(3) Ω为圆柱体r ≤a cos θ内被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分解答：(1) 1311122008(22)15xV dv dx dz x x dz -Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （2）222318081r rV dv d rdr dz πθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）cos 3332200424(1sin )(34)39a V dv d rdr a d a ππθθθθπΩ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节难度：二级41．设Ω是Oxyz 坐标系中体积为V =5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20 V =100． 所属章节：第九章第四节 难度：二级42．计算三重积分222222d d x y z ab c x y z ++≤⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，22222222008d d sin 9x y z a b c x y z abc d d d abc ππθϕρϕρπ++≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=， 222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++． 所属章节：第九章第四节 难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积 参考答案：14解答：平面方程3632z x y =--，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4，72dA d σ=，7741422DA d σ==⨯=⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面面积解答：由对称性，设z =22:,0D x y ax y +≤≥，则dA =，cos 220442(2)a DA d a πθθπ===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为r =dA σθ==，442093DA d πππθθ-===-⎰． 所属章节：第九章第五节 难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积 解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D x y ≤+≤，dA σθ==，2016DA d ππθθ===⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积 参考答案：216π3a解答：上半曲面方程z =投影区域为圆环域222:2D x y a +≤，dAσθ==，221002(3DA d aπθθπ===⎰；类似，下半曲面面积，2220012)3DA d aπθθπ===⎰；所以所求总的曲面面积为21216π3A A a+=．所属章节：第九章第五节难度：二级49．求由圆柱面229x y+=、平面4y+3z=12和4y–3z=12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A，另一块为侧面，面积记为2A，整个立体的表面积122A A A=+．先计算1A，由于对应曲面方程为443z y=-，40,3z zx y∂∂==-∂∂，xyD为投影区域，53dA dσ==，所以15591533xy xyD DA dA dσππ===⋅=⎰⎰⎰⎰，再计算2A，由于对应曲面方程之一为y=0,y yz x∂∂==∂∂，xzD为投影区域，dAσ==，所以382302248xzDA dA dxπ-===⎰⎰⎰⎰，于是，总面积为122304878A A Aπππ=+=+=．所属章节：第九章第五节难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,x y R x z R +=+=，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A ，再乘以16即可，由于z dA ===，所以121016161616RD A A dx R ====⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2，y =x 和x 轴所围成，它的面密度ρ(x )=x 2+y 2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3y yDm x y dxdy dy x y dx ρ-==+=⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第五节 难度：二级52．求占有下列区域D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1) D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x ，y )=x +y ； (2) D 是第一象限中由抛物线y =x 2与直线y =1围成的区域，ρ(x ，y )=xy ； (3) D 由心脏线r =1+sin θ所围成的区域，ρ(x ，y )=2； (4) 22{(,)|(1)1},(,)|1|D x y x y x y y y ρ=+-≤=+- 解答：(1) 23102(,)()6xxDm x y dxdy dx x y dy ρ-==+=⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()46D x x dx x xy d x x x y dxdy m y ρ-===+⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()26D x x dx xy y d y y x y dxdy m y ρ-=+==⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为33(,)42；(2) 211150011(,)()26xDm x y dxdy dx xydy x x dx ρ===-=⎰⎰⎰⎰⎰， 2111226004163((),)7x D dx x ydy x x x x y dxd m x x y d ρ=-===⎰⎰⎰⎰⎰，。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
高等数学第八章二重积分试题及答案
第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。
如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。
2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。
高等数学教材二重积分答案
高等数学教材二重积分答案在进行高等数学学习的过程中，二重积分是一个非常重要的概念。
掌握了二重积分的求解方法以及相应的答案，对于我们理解和应用高等数学知识有着至关重要的作用。
本文将回答一些关于二重积分的题目，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 求解二重积分∬(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域为x^2+y^2≤1。
首先要确定积分区域，由于条件限制为x^2+y^2≤1，因此积分区域为单位圆。
接下来我们可以将此二重积分转换成极坐标下的积分形式。
当x和y用极坐标表示时，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为极径，θ为极角，那么根据雅可比行列式的性质，dx dy=r dr dθ。
现在我们将原来的二重积分改写成极坐标下的形式：∬(r^2) r dr dθ。
由于积分区域为单位圆，所以对于极径r，积分范围为0到1；对于极角θ，积分范围为0到2π。
将上述积分范围代入原式，得到二重积分的答案为：∫[0,2π]∫[0,1](r^3) dr dθ。
2. 求解二重积分∬(2xy-3x^2)dydx，其中积分区域为0≤x≤1，0≤y≤2。
根据题目给定的积分区域，可以直接进行二重积分的计算。
首先计算内层的y方向的积分，即对2xy-3x^2关于y进行积分，得到xy^2-3x^2y。
然后再对x进行积分，积分范围是0到1。
将上一步得到的结果乘以x的积分范围并进行积分，即∫[0,1] (xy^2-3x^2y)dx。
计算这一步的结果，得到(1/4)y^2-(3/4)y。
最后，将y的积分范围0到2代入上一步得到的结果进行积分，即∫[0,2] [(1/4)y^2-(3/4)y]dy。
将这一步的计算结果代入，得到最终的答案为(-11/2)。
通过以上两个例子的解答，我们可以看到在求解二重积分时，首先需要确定积分区域，然后根据积分区域的不同，选择合适的计算方法。
在一些情况下，我们可以将二重积分转换成极坐标下的形式，从而简化计算过程。
二重积分典型例题解析.doc
高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R 222= 。
（其中{}222),(R y x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰xxy y x f x d ),(d 1交换积分次序后，得到的积分为 。
（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是 。
解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。
应该填写：332R π。
（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤x y x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。
应该填写：⎰⎰yy x y x f y 2d ),(d 10。
（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰211。
应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择 （1）二重积分x x y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（ ）。
A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是（ ）。
二重积分习题答案精编WORD版
二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。
解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习 题 八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
二重积分的计算方法例题及解析
二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。
2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。
- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。
- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。
- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。
- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。
- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。
- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。
- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。
- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。
高数习题答案二
2π
1
2π
2
1 2 1 4 1 1 4 1 2 2 = 2π ( r − r )|0 +2π ( r − r )|1 = 5π. 2 4 4 2 y r = cosθ 3.利用极坐标计算下列二重积分 (1) ∫∫ xdxdy, D: x2 + y2 ≤ x D 0 1 x 解: 画出D的图形:
y
7.交换下列积分次序,并计算: (1)
∫ dy∫ e dx
y 0 y
1
1
1 y=x
0
D
解: 由已给积分次序知
y ≤ x ≤1 D: 0 ≤ y ≤1 ,
x =1 x 1
画出D的图形:
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x eydy = ey |0dx = ∫ dx ∫0 ∫ 0 0
1
x
1
y 1 y=x
x
1 x
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u v
2.将二重积分
∫∫ f ( x, y) dxdy 化为二次积分:
D
(1) D 是由 y = 2, y = 2x 及 x = 0 所围成的区域; 解: 画D的图形: 1 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx∫ f ( x, y)dy
D
y
2D
0
D
x =1 1 x
(2) 解: 由已给积分次序知
0 ≤ x ≤1 D: 2 x ≤ y ≤1 ,
画出D的图形:
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8. 计算下列二重积分
(1) I = ∫∫ yexy dxdy,其中D 是由直线 y = 2, x =1,
x = 2及曲线
第九章 二重积分 复习题答案
第九章 二重积分 复习题答案一、单项选择题1、设D 是由曲线x y x 422=+围成的闭区域，则()⎰⎰+Dd y x f σ22=（ C ）A.()dr rf d ⎰⎰πθ012B.()rdr r f d ⎰⎰-22sin 402ππθθC.()rdr rf d ⎰⎰-22cos 42ππθθ D. ()dr r f d ⎰⎰-22cos 402ππθθ2、设f 是连续函数，D 是由0,122≥≤+y y x 确定的区域，则=+⎰⎰σd y x f D)(22（ A ）。
A 、 10()d rf r dr πθ⎰⎰ B 、210()d rf r dr πθ⎰⎰C 、10()d f r dr πθ⎰⎰ D 、210()d f r dr πθ⎰⎰3、设22:14, D x y ≤+≤则2Ddxdy =⎰⎰（ D ）A.3πB.4πC.30πD.6π 4、设D 是由直线,2,1y x y x y ===围成的闭区域，则Ddxdy =⎰⎰（ B ）A 、12 B 、14 C 、1 D 、325、设积分区域D 是由圆22x y Ry +=围成，则二重积分22()Df x y d σ+=⎰⎰（ D ）A 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰ B 、22sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰C 、2sin ()00R d f r dr πθθ⎰⎰D 、2sin ()00R d f r rdr πθθ⎰⎰ 6、若{}22(,)12D x y x y =≤+≤，则二重积分Dd σ⎰⎰＝（ C ）A.2π B. 2πC. πD. 3π二、填空题：1、变换二次积分⎰⎰⎰⎰-+=2120100),(),(yydx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则=I ⎰⎰-=12),(xx dy y x f dx I ；2、改变二次积分21(,)yydy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则I = ⎰⎰1),(xxdy y x f dx ；3、改变二次积分210(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分次序，可得21(,)x dx f x y dy ⎰⎰=_______⎰⎰101),(ydx y x f dy ;4、若D 是由直线 1,1,1,1=-==-=y y x x 围成的矩形区域，则⎰⎰=Ddxdy 25、交换二次积分1(,)00y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，则I =⎰⎰11),(xdy y x f dx ___;三、计算题：1、求⎰⎰+Ddxdy y x )2(，其中D 是由曲线2x y =和0=+y x 围成的闭区域. 101|)1022()2223(|)22()2()2(:0154314320120122-=---=⋅---=⋅+=+=+------⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x dx x x x dxy xy dy y x dx dxdy y x xx Dxx解2、求σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆周x y x 222=+所围成的闭区域。
二重积分考试题及答案
二重积分考试题及答案1. 计算二重积分 \(\iint_D (x^2 + y^2) \, dA\)，其中区域 \(D\) 是由直线 \(x = 0\)，\(y = 0\) 和 \(x + y = 1\) 所围成的三角形区域。
答案：首先确定积分限。
区域 \(D\) 可以描述为 \(0 \leq x\leq 1\) 和 \(0 \leq y \leq 1 - x\)。
因此，二重积分可以写为：\[\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \int_0^{1-x} (x^2 +y^2) \, dy \, dx\]对 \(y\) 进行积分：\[\int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y +\frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} = x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3} \]然后对 \(x\) 进行积分：\[\int_0^1 \left( x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3} \right) \, dx = \int_0^1 \left( x^2 - x^3 + \frac{1 - 3x + 3x^2 - x^3}{3} \right) \, dx\]\[= \int_0^1 \left( \frac{3x^2 - 3x^3 + 1 - 3x + 3x^2 -x^3}{3} \right) \, dx = \int_0^1 \left( \frac{6x^2 - 4x^3 - 3x + 1}{3} \right) \, dx\]\[= \frac{1}{3} \left[ 2x^3 - x^4 - \frac{3x^2}{2} + x\right]_0^1 = \frac{1}{3} \left( 2 - 1 - \frac{3}{2} + 1\right) = \frac{1}{6}\]因此，二重积分的值为 \(\frac{1}{6}\)。
高等数学二重积分讲义试题答案
第七章 多元函数积分学§7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I ：设有界闭区域{})()(,),(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Dbax x Ddy y x f dx dxdy y x f d y x f )()(21),(),(),(ϕϕσ模型II ：设有界闭区域{})()(,),(21y x y d y c y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
二重积分练习题答案
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解： 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
二重积分部分练习题
二重积分部分练习题 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分)一、选择(16小题,共53.0分) (2分)[1](3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰(其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16（B ）112（C ）12（D ）14答()(3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0；（B ）323（C ）643（D ）256 答()(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2（B ）4（C ）8（D ）12答()(3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分(A)1120111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)110111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)201(,)dy f x y dx -⎰⎰答()(3分)[6]设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)21(,)y dy f x y dx ⎰答()(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)10010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)10(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答()(3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答()(4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r . 答()(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 32022(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答()(4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3;(B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2;(D)I 3＜I 1＜I 2. 答()(5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤(B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤(D)10I -≤≤答()(4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 (A)I 3＜I 2＜I 1;(B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2;(D)I 3＜I 1＜I 2. 答()(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=?,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分 (A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答()(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxe xy dxdy =⎰⎰(A)e;(B)e －1;(C)0;(D)π. 答()(4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1(B)332334312答()二、填空(6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
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x2 + y2 S2 : z = 2a 2a
∂z ∂z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy ∂x ∂y a
2 2
所求面积： 所求面积：
A = A1 + A2 = ∫∫
D
3a 3a − x − y
2 2 2
dxdy + ∫∫
解
围成． 围成． 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x
∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫
D
x
2
2
x 1 x
x y
2
D
2
dy
x = ∫ − 1 y
2
2
2 3 dx= ( x − x)dx = 9. 1 1 4
x
∫
x
例6 计算 ∫∫ y − x dσ , 其中D : − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
二重积分习题课
例1 比较 I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与 I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小 ,
D D
其中 D 由 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1) 2 = 2 围成 .
y
由重积分的性质
x+y>1
I1 < I2
1
2
0
1
2
x
x + y =1
例2 将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,
R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2a a b 0
例10 求半球面 z = 3a − x − y 与旋转抛物面
2 2 2
z x 2 + y 2 = 2az ( a > 0 ) 所围成立体的表面积 .
1
x
1 所以, 所以 2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b ⇒ I = ( a + b ). 2 D
y
解
2
由对称性
1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D
2
O
Rx
∫∫ x dxdy = ∫∫
D D
x2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2a b D D
D
a2 + x2 + y2 dxdy a
= 3a ∫
2π 0
dθ ∫
2a 0
2a 0
2a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 − r 2
1
= 6π a ∫
2π rdr + a 3a 2 − r 2 1
2a
∫
2a 0
a 2 + r 2 rdr
= −3π a ∫ +
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围 所围. ，
1 y
D
先对 y 积分
y =1– x
I =
0
1
∫ dx ∫
0
1
1− x
x −1
f ( x , y )d y
x
y = x –1 –1
先对 x 积分
1 y
I =
x =1– y
D1
∫∫ + ∫∫
D1 D2
1− y
=
1
∫ dy ∫
0
1 0
0
f ( x , y )dx + ∫ dy ∫
1
0
f ( x , y )dx;
2. ∫ dx ∫
R 2
1+ 1− x 2 x
f ( x , y )dy;
计算下列二次积分： 计算下列二次积分： 二次积分
3. ∫
0
e
−y
2
dy ∫ e
0
y
−x
2
dx + ∫
R R 2
e
−y
2
dy ∫
R2 − y 2
0
e
− x2
dx;
4.
∫1
5
5 dx 1 dy ∫ . y ln x y
练习题答案
1.∫ dx ∫ x
0 2
2
3− x
f ( x , y )dy
2 2 y− y2 0
− R2
2.∫ dy ∫
0
1
y2 0
f ( x , y )dx + ∫ dy ∫
1
R −r2
f ( x , y )dx
).
3. I = ∫ π dθ ∫ e
为常数， 其中 a, b为常数， D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y aϕ ( x ) + bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱϕ ( y ) 证 设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ϕ ( x) + ϕ ( y) D
y 由区域关于直线 = x的对称性得 aϕ ( y ) + b ϕ ( x ) O I = ∫∫ d xd y ϕ ( y) + ϕ ( x) D
b
o
a
b
x
1 b (b − y)n−1 f ( y)dy. = n −1 ∫a
例8 计算 解
1
∫0 dy∫y
y
1
y
sin x dx. x
∫0 dy∫y
1 0
1 x sin x sin x dx = ∫ dx∫ 2 dy 0 x x x
= ∫ (1− x)sin xdx
= 1− sin1. −
x2 y2 例9 设D为圆域 x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求 ∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D
1 3a 2 − r 2
0 2a
d (3a 2 − r 2 )
π
a
∫
0
a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )
4 2 2 2 = 6 3 + − 6 − π a . 3 3
练习题
交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序
1 2y 3 3− y
1. ∫ dy ∫
o
x
y
S = S1 + S 2
z
z = 3a 2 − x 2 − y 2 共同的 D : 2 x + y 2 = 2az
S1 S2
x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即 z = 0
o
D
2a
y
x
S1 : z = 3a 2 − x 2 − y 2
3a ∂z ∂z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a − x − y ∂x ∂y
0
1
0
f ( x , y )d x +
y +1
0
D2
x
+
∫
0
−1
dy ∫
0
f ( x , y )d x
x = y +1 –1
例3 将二次积分换序 I = D: x ≤ y ≤ 2ax − x 2
∫0 dx ∫x
y
a
2 ax − x 2
f ( x , y )dy .
a
x = a − a2 − y2
0≤ x≤a
2 4 0
π
rdr =
π
8
(1 − e
4. I = ∫ dx ∫
1
5
x 1
5 1 dy =∫ ⋅ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x
设ϕ ( x )为[0D关于直线 y = x对称 , 则 若闭区域 ,1]上的正值连续函数 , aϕ ( x )∫∫ f bϕ )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明： 证明： ∫∫ ϕ ( x ) D+ ϕ ( y ) dDxdy = 2 (a + b) D
2 D
先去掉绝对值符号， 解 先去掉绝对值符号，如图
∫∫
D
y − x2 dσ
2
D3
D1
2
=
D +D2 1
∫∫ ( x
1 −1
− y)dσ + ∫∫ ( y − x )dσ
D3
D2
= ∫ dx ∫ ( x − y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y − x
2 0 −1 x
x2
1
1
2
11 )dy = . 15
例7 证明
∫a dx∫a ( x − y)
证
b x
b
x
n−2
1 b f ( y)dy = (b − y)n−1 f ( y)dy. n −1∫a
n−2
∫a dx∫a ( x − y)
b b
f ( y)dy
y b
y= x
D
= ∫ dy∫ ( x − y)n−2 f ( y)dx
a
y
a
=∫
b
a
1 n−1 f ( y) ( x − y) dy n −1 y
即 r =2Rsinθ
π 即θ = 2
x = 2 Ry − y 2