高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳

题型一:圆锥曲线的标准方程与几何性质

圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.

【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )

A.x 29－y 2

13＝1

B.x 213－y 29＝1

C.x 23－y 2＝1

D.x 2

－y 2

3＝1 (2)若点M (2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 2

7＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值为________.

(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，

若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________.

答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1

解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一个焦点为F (2，0)， 则a 2＋b 2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，

由题意得2b

a 2＋

b 2＝3，②

联立①②解得b ＝3，a ＝1，

所求双曲线的方程为x 2

－y 2

3＝1，选D. (2)设点B 为椭圆的左焦点，点M (2，1)在椭圆内，那么|BM |＋|AM |＋|AC |≥|AB |＋|AC |＝2a ，所以|AM |＋|AC |≥2a －|BM |，而a ＝4，|BM |＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM |＋|AC |)最小＝8－26.

(3)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E .如图所示，将x ＝p 2代入抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ， |PF |＝p ，|EF |＝p .

故2a ＝2p ＋p ，2c ＝p ，e ＝2c 2a ＝2－1.

【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.

(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.

【变式训练】已知椭圆x 24＋y 2

2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆

于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83.其中正确结论的

个数为( )

A.3

B.2

C.1

D.0

答案 A

解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③设A (x 1，

y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，

x 24＋y 22＝1，

得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB |＝1＋1·|x 1－x 2|

＝83，故③正确.故选A.

题型二:圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.

【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.

(1)求C 的方程；

(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.

(1)解 由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，

解得a 2＝8，b 2＝4.

所以C 的方程为x 28＋y 2

4＝1.

(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).

将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2

4＝1得

(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.

故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1

. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，

即k OM ·k ＝－12

. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.

【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤

第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.

第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.