二重积分的变量代换
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, .
则其面积分为 .
(2)变换 把该矩形变为 平面上的一个曲边四边形
，设四个顶点的坐标为
， ， ， .
(3)用Taylor公式把曲边四边形 的四个顶点坐标用 和 表示出来:
;
,. ;
,
.
(4)略去 和 , 得仿射变换. 在该仿射变换之下,矩形 变为平行四边形.用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形 的面积.平行四边形的顶点坐标是上述 的顶点坐标表达式中略去 和 所剩的式子.
在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线来分划区域D为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D（如左图示），得出若干个小块 ，这时小块的面积若极为 ，（ ）则Rieman和为 ，注意到
= ห้องสมุดไป่ตู้ =
易见,当 ， 充分小时， 可近似地看成一个矩形，边长分割为： 和 ，即 ，若有Rieman和 中以 代替 ，并按极坐标交换： ， 。当分割的精度→0是，由上面分析知： → .
作业P242：1（1）、（2），2（2）、（4），3（1）、（2），4，5（2），6（1）、（2）.
附录：极坐标系下的二重积分的公式
1用定积分定义推导极坐标系下的二重积分的公式
极坐标变换： 。
设D是 中的有界闭区域，且 是 中的零测度集；再设f在D上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f R（D）∴ 有意义的；它的值不因对区域D的分割方式不同而变化。
§4二重积分的变量代换
引言
有一种情形，函数f在D上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例如 ，D=
分析：∵函数f(x,y)= 在有界区域D= 处处连续，∴f R（D）
=
或者 =
计算不出来！f R（D），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法.联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法.在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用.对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数.
极坐标变换是一种特殊的变量替换.
极坐标变换 ： （8）
此时 =
注5在定理21.13中，假设J≠0，但有时会遇到这种情形.变换行列式在区域内个别点上等于0.或只在区域个别线段上等于0，而在其它点上非0，此时定理21.13结论能成立.
定理21.14设 满足定理21.13的条件，在极坐标变换（8）下，有
= （9）
1定积分换元积分法公式的改写
2一元函数 在 的导数的绝对值 的几何意义
3函数行列式的几何意义
设变换 的Jacobi 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在 平面上的象.由条件 ,这里的逆变换是存在的.
一般先引出变换 ,设函数 在 平面上的区域 内有连续的偏导数.在此变换之下, 平面上的区域 变为 平面上的区域 ,且设 .由此求出变换 ，并且 .
记 ， =
即 = 直角坐标下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的公式）
在x= ,y= 交换下，被积函数 ， ，区域
2用微元法推导极坐标系下的二重积分的公式
习题课备用练习
证明P235
例1 , .
解P235-236
注2当被积函数形如 ,积分区域为直线型时,可试用线性变换 .
补例1 , .
解设 .则 .
， .
因此, .
注3若区域 是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设区域 由以下两组曲线围成:
引理1(补充)设变换 ： 如上所述,又设在 平面上有一块包含点 的区域 ,点 和 都在 内.通过变换 将点 变换为 平面上一点 ,将 变换为 平面上包含点 的一块区域 .那么当 无限地向点 收缩时,它们的面积之比 的极限为 ,即
.
证明思路（参见刘玉琏教材下册9225定理3）:
(1)在 内取出一点 ,作一个矩形 (边与坐标轴平行,字母 依逆时针标记) .设四个顶点的坐标为
= （11）
例3 ，D为圆域
解P240
例4求球体 被圆柱面 所割下立体的体积（称为维维安尼（Viviani）体）.
解P240
例5 ，D=
广义极坐标变换: , .
补例6求椭球体 的体积
补例2应用二重积分求广义积分 .
补例3有一个形状为旋转抛物面 的容器内，已经盛 ，的溶液，现又倒进 的溶液，问液面比原来的液面升高多少 ?
第一组: ;
第二组: .
可试用变换 . .从中解出 .在此变换之下,区域 变成 平面上的矩形区域 .
例2求由抛物线 和直线 所围平面区域 的面积.
解P236
注4在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（1）使变换的函数容易积分；（2）使得积分限容易安排.
二、用极坐标变换计算二重积分
1极坐标变换下的二重积分变换公式
该平行四边形的面积=
=
.
注1引理1即证明了换算公式 .
一、二重积分的一般变量变换公式
引理2变换 ： ， （*）.通过（*）把 变为D，在 上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设 （在 内不为0），则区域D的面积 （5）
证明P233
定理21.13设D 有界闭区域， ，变换 ： ， （*）.通过（*）把 变为D，在 上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设 （在 内不为0），则
证明P238
2在什么情况下使用极坐标变换
当积分区域是圆域或是圆域的部分
或被积函数的形式为 时，采用极坐标变换来计算往往简便得多.
3二重积分在极坐标变换下如何化为二次积分来计算
下面分情况讨论之
情形1若 = ， ， 为[ ， ]上的连续函数，则称之为 型区域（如P239图21-24）.这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：
= （10）
两种特例
（1）若极点O是积分区域的内点，则变换 后的区域为 =
此处 = 是 的边界曲线（如P239图21-26），此时有
= (12)
(2)若积分区域的边界曲线 = 通过极点O时（如P239图21-27），应先求出极径，即使 =0的两个角度 ， ，此时有
= （13）
情形2若 = ，其中 ， C[ ， ]（r-型区域，如P239图21-25），此时有
则其面积分为 .
(2)变换 把该矩形变为 平面上的一个曲边四边形
，设四个顶点的坐标为
， ， ， .
(3)用Taylor公式把曲边四边形 的四个顶点坐标用 和 表示出来:
;
,. ;
,
.
(4)略去 和 , 得仿射变换. 在该仿射变换之下,矩形 变为平行四边形.用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形 的面积.平行四边形的顶点坐标是上述 的顶点坐标表达式中略去 和 所剩的式子.
在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线来分划区域D为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D（如左图示），得出若干个小块 ，这时小块的面积若极为 ，（ ）则Rieman和为 ，注意到
= ห้องสมุดไป่ตู้ =
易见,当 ， 充分小时， 可近似地看成一个矩形，边长分割为： 和 ，即 ，若有Rieman和 中以 代替 ，并按极坐标交换： ， 。当分割的精度→0是，由上面分析知： → .
作业P242：1（1）、（2），2（2）、（4），3（1）、（2），4，5（2），6（1）、（2）.
附录：极坐标系下的二重积分的公式
1用定积分定义推导极坐标系下的二重积分的公式
极坐标变换： 。
设D是 中的有界闭区域，且 是 中的零测度集；再设f在D上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f R（D）∴ 有意义的；它的值不因对区域D的分割方式不同而变化。
§4二重积分的变量代换
引言
有一种情形，函数f在D上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例如 ，D=
分析：∵函数f(x,y)= 在有界区域D= 处处连续，∴f R（D）
=
或者 =
计算不出来！f R（D），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法.联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法.在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用.对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数.
极坐标变换是一种特殊的变量替换.
极坐标变换 ： （8）
此时 =
注5在定理21.13中，假设J≠0，但有时会遇到这种情形.变换行列式在区域内个别点上等于0.或只在区域个别线段上等于0，而在其它点上非0，此时定理21.13结论能成立.
定理21.14设 满足定理21.13的条件，在极坐标变换（8）下，有
= （9）
1定积分换元积分法公式的改写
2一元函数 在 的导数的绝对值 的几何意义
3函数行列式的几何意义
设变换 的Jacobi 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在 平面上的象.由条件 ,这里的逆变换是存在的.
一般先引出变换 ,设函数 在 平面上的区域 内有连续的偏导数.在此变换之下, 平面上的区域 变为 平面上的区域 ,且设 .由此求出变换 ，并且 .
记 ， =
即 = 直角坐标下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的公式）
在x= ,y= 交换下，被积函数 ， ，区域
2用微元法推导极坐标系下的二重积分的公式
习题课备用练习
证明P235
例1 , .
解P235-236
注2当被积函数形如 ,积分区域为直线型时,可试用线性变换 .
补例1 , .
解设 .则 .
， .
因此, .
注3若区域 是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设区域 由以下两组曲线围成:
引理1(补充)设变换 ： 如上所述,又设在 平面上有一块包含点 的区域 ,点 和 都在 内.通过变换 将点 变换为 平面上一点 ,将 变换为 平面上包含点 的一块区域 .那么当 无限地向点 收缩时,它们的面积之比 的极限为 ,即
.
证明思路（参见刘玉琏教材下册9225定理3）:
(1)在 内取出一点 ,作一个矩形 (边与坐标轴平行,字母 依逆时针标记) .设四个顶点的坐标为
= （11）
例3 ，D为圆域
解P240
例4求球体 被圆柱面 所割下立体的体积（称为维维安尼（Viviani）体）.
解P240
例5 ，D=
广义极坐标变换: , .
补例6求椭球体 的体积
补例2应用二重积分求广义积分 .
补例3有一个形状为旋转抛物面 的容器内，已经盛 ，的溶液，现又倒进 的溶液，问液面比原来的液面升高多少 ?
第一组: ;
第二组: .
可试用变换 . .从中解出 .在此变换之下,区域 变成 平面上的矩形区域 .
例2求由抛物线 和直线 所围平面区域 的面积.
解P236
注4在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（1）使变换的函数容易积分；（2）使得积分限容易安排.
二、用极坐标变换计算二重积分
1极坐标变换下的二重积分变换公式
该平行四边形的面积=
=
.
注1引理1即证明了换算公式 .
一、二重积分的一般变量变换公式
引理2变换 ： ， （*）.通过（*）把 变为D，在 上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设 （在 内不为0），则区域D的面积 （5）
证明P233
定理21.13设D 有界闭区域， ，变换 ： ， （*）.通过（*）把 变为D，在 上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设 （在 内不为0），则
证明P238
2在什么情况下使用极坐标变换
当积分区域是圆域或是圆域的部分
或被积函数的形式为 时，采用极坐标变换来计算往往简便得多.
3二重积分在极坐标变换下如何化为二次积分来计算
下面分情况讨论之
情形1若 = ， ， 为[ ， ]上的连续函数，则称之为 型区域（如P239图21-24）.这时，类似于上节的x-y-型区域的取法，可将之化为下面形式：
= （10）
两种特例
（1）若极点O是积分区域的内点，则变换 后的区域为 =
此处 = 是 的边界曲线（如P239图21-26），此时有
= (12)
(2)若积分区域的边界曲线 = 通过极点O时（如P239图21-27），应先求出极径，即使 =0的两个角度 ， ，此时有
= （13）
情形2若 = ，其中 ， C[ ， ]（r-型区域，如P239图21-25），此时有