拆分自然数的几种算法

拆分自然数的几种算法

【问题描述】自然数的拆分：任何一个大于1的自然数N，总可以拆分成若干个自然数之和，并且有多种拆分方法。例如自然数5，可以有如下一些拆分方法：

【问题描述】自然数的拆分：任何一个大于1的自然数N，总可以拆分成若干个自然数之和，并且有多种拆分方法。例如自然数5，可以有如下一些拆分方法：

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+2+2

5=1+4

5=2+3

算法一用回溯法来实现

针对所给问题，定义问题的解空间；如本题对5的拆分来说，1<=拆分的数<=5。确定易于搜索的解空间结构；如本题对5的拆分来说，用x[]数组来存储解，每个数组元素的取值范围都是1<=拆分的数<=5，从1开始搜索直到5。搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。如本题对5的拆分来说，为了避免重复，x>=x[j](i>j)，如x[]={2,3}满足条件而x[]={3,2}就不满足条件不是可行解即无效。

#include

#include

void splitN(int n,int m);//n是需要拆分的数，m是拆分的进度。

int x[1024]={0},total=0 ;//total用于计数拆分的方法数，x[]用于存储解

void main()

{

int n ;

printf("please input the natural number n:");

scanf("%d",&n);

splitN(n,1);

printf("There are %d ways to split natural number %d. ",total,n);

}

void splitN(int n,int m)

{//n是需要拆分的数，m是拆分的进度

int rest,i,j;

for(i=1;i<=n;i++)

{//从1开始尝试拆分

if(i>=x[m-1])

{//拆分的数大于或等于前一个从而保证不重复

x[m]=i ;//将这个数计入结果中

rest=n-i ;//剩下的数是n-i，如果已经没有剩下的了，并且进度(总的拆分个数)大于

1，说明已经得到一个结果了

if(rest==0&&m>1)

{

total++;

printf("%d\t",total);

for(j=1;j

{

printf("%d+",x[j]);

}

printf("%d ",x[m]);

printf("\n");

}

else

{

splitN(rest,m+1);//否则将剩下的数进行进度为m+1拆分

}

x[m]=0;//取消本次结果，进行下一次拆分。环境恢复，即回溯 }

}

}

算法二用递归来实现

任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和，试求n的所有拆分。

用不完全归纳法

n =2 可拆分成2 =1 +1

n =3 可拆分成3 =1 +2 =1 +1 +1

n =4 可拆分成4 =1 +3 =1 +1 +2 =1 +1 +1 +1 =2 +2

……

n =7 可拆分成7 =1 +6

=1 +1 +5

=1 +1 +1 +4

=1 +1 +1 +1 +3

=1 +1 +1 +1 +1 +2

=1 +1 +1 +1 +1+1+1

=1 +1 +1 +2 +2

=1 +1 +2 +3

=1 +2 +4

=1 +2 +2 +2

=1 +3 +3

=2 +5

=2 +2 +3

=3 +4

用数组a 存储完成n 的一种拆分。从上面不完全归纳法的分析n =7 时，按a［1］分类，有a［1］=1，a［1］= 2，…，a［1］= n/2，共n/2 大类拆分。在每一类拆分时，a［1］= i ，a［2］= n - i ，从k=2，继续拆分从a［k］开始，a［k］能否再拆分取决于a［k］/2 是否大于等于a［k-1］。递归过程的参数t 指向要拆分的数a［k］

#include

using namespace std;

int a[100]={0};

void Split(int t)

{

int i;

for(i = 1; i

{

cout<< a[i]<<"+";

}

cout<

int j = t;

int L = a[j];

for(i = a[j-1]; i <= L/2; i++)

{

a[j] = i;

a[j+1] = L - i;

Split(j+1);

}

}

void SplitNum(int n)

{

int i;

for(i = 1; i <= n/2; i++) {

a[1] = i;

a[2] = n - i;

Split(2);

}

}

int main()

{

int n;

scanf("%d",&n);

SplitNum(n);

return 0;

}