恒定元流能量方程
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第四节 恒定元流能量方程
• 能量方程是水流运动必须遵循的基本方程。
• 能量的转化与守恒定律是自然界物质运
动的普遍规律，水流能量方程则是这一普 遍规律在水流运动中的具体表现。
• 从质量守恒定律推出的连续性方程，只给 出了流速和过水断面之间的关系，是一个 运动学方程。
• 由于水流运动的过程就是在一定条件下的 能量转化过程，因此流速与其他因素之间 的关系可以通过分析水流的能量关系得出。
Z1 p1
1v12
2g
Z2
p2
2 2 v2
2g
hw
• 理想液体不存在水头损失，故其总水头线 为一水平线； • 实际液体的总水头线为一单调下降的空间 曲线；测压管水头线和位置水头线，根据 具体情况而定，可为升降曲线或直线。
a1 12 2g
p1
H1 Hp1 Z1
a 2 22 2g
6
3-27
2、方程的分析
u z 常数 任意断面有： 2g
压 强 水 头 位 置 水 头 流 速 水 头
p
2
3-27
各断面总水头相等
单位总能量保持不变
位能、压能、动能、
测压管 水头 总水头
7
机械能
•单位液重的机械能沿流可 以相互转化，但总量保持不 变。
• 能量方程说明，理想不可压缩流体恒定元流中， 各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不 变 • 特例：静止液体
dQdt( z2 z1 )
2 u2 u12 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) dQdt( ) 2g 2g
总能量方程式
u u ( p1 z1 )dQ ( p2 z2 )dQ 2g 2g
5
2 1
2 2
单位时间内γdQ重量流体 的能量平衡方程
渐变流中某一流段
16
上式具有三种积分类型，下面分别 讨论：
• •
( z )udA ( z )dQ 第一类积分：
A
p
p
•
只有在所取断面上水流为均匀流或渐变 流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积 分才有可能。 所以
( z )udA ( z )dQ ( z )Q
z1
p1
z2
p2
2 理想液体元流能量方程 各项意义 2 2 p1 u1 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
1、力学意义：体现了动能定律，运动液体中功 和能的转化 2、能量守恒：比位能、比压能、比动能 3、几何意义：位置高度、压强高度、流速高度 4、水力学意义：位置水头、压强水头、流速水 头；水头线图（P-52,3-9 C，四条基本线—零水头线、
4
dQdt u
2 2
2 1
2 2
2 1
（b）
（ c）
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt
2 dQdt u2
（a） （b） （ c）
g
2 u12 u2 u12 ( ) dQdt( ) 2 2 2g 2g
• 式中dH为微分流段的总水头差。 • 水力坡度（比降）表示单位流程的水头损 失，由于dH=H2－H1为负值，故在式前加 负号使Ｊ为正值。
5、伯努利方程的应用—毕托管测速
测液体时
u z 常数 2g
p
2
pa
u2 0 2g pb
u 2g
pa pb
pa pb
一、能量方程的依据原理 功能原理—外力所做的功等于机械能的变化
1、方程的导出
对如图不可压缩理想流体
恒定流动力学模型，dt时
段内功能变化：
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt （a）
u u u ( ) dQdt( ) g 2 2 2g 2g dQdt( z2 z1 )
• 先从最简单的理想液体元流情况入手。
推导步骤
1. 2. 3. 4. 5. 假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力 外力作功 p1dA1u1dt-p2dA2u2dt 动能改变 dEk=½dQdt（u22-u12） 势能变化 dEp=ρ dQ dt g Z2- ρ dQ dtgZ1 依据功能原理列等式
10
Fra Baidu bibliotek
3-28
• 如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’ 表示，则得出实际液体元流机械能平衡方 程式（3-28）：
2 u12 p2 u 2 ' z1 z2 hw 2g 2g
p1
• 各断面的机械能可以转换，但总机械能 沿程减少。 • 水力坡度、测管坡度
恒定总流能量方程的图示
u u ( p1 z1 )dQ ( p2 z2 )dQ 2g 2g
两边除以γdQ
2 1
2 2
p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
3-27
理想不可压缩流体恒定元流能 量方程——伯努利方程
单位时间内、单位重量流 体的能量平衡方程
2 p u 任意断面有： z 常数 2g
hl1 2
沿程损失使总水头线表现为 水平直线，局部损失会出现 一垂直下降
p2
Hp2
总水头线 测压管水头线
水流轴线
Z2
H2
H1 H 2 h12 p 2 H Z 2g
13
• 对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的 概念。其定义为： dH dhw J ds ds
位置水头线、测压管水头线、总水头线）
3、实际流体
实际流体比理想流体
多了粘性阻力引起的 能量损失：
p1 p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
3-27
单位能量损失或水头损失
2 u12 p2 u2 z1 z2 h'12 2g 2g
hV
u 2 ghV
——实验校正流速系数。
15
第五节 恒定总流能量方程式
总流能量方程由元流能量方 程在两个断面的积分得到：
u12 ( p1 z1 )dQ 2g A1
2 u2 ( p2 z2 )dQ h'1 2 dQ 2g A2 A2
• 能量方程是水流运动必须遵循的基本方程。
• 能量的转化与守恒定律是自然界物质运
动的普遍规律，水流能量方程则是这一普 遍规律在水流运动中的具体表现。
• 从质量守恒定律推出的连续性方程，只给 出了流速和过水断面之间的关系，是一个 运动学方程。
• 由于水流运动的过程就是在一定条件下的 能量转化过程，因此流速与其他因素之间 的关系可以通过分析水流的能量关系得出。
Z1 p1
1v12
2g
Z2
p2
2 2 v2
2g
hw
• 理想液体不存在水头损失，故其总水头线 为一水平线； • 实际液体的总水头线为一单调下降的空间 曲线；测压管水头线和位置水头线，根据 具体情况而定，可为升降曲线或直线。
a1 12 2g
p1
H1 Hp1 Z1
a 2 22 2g
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3-27
2、方程的分析
u z 常数 任意断面有： 2g
压 强 水 头 位 置 水 头 流 速 水 头
p
2
3-27
各断面总水头相等
单位总能量保持不变
位能、压能、动能、
测压管 水头 总水头
7
机械能
•单位液重的机械能沿流可 以相互转化，但总量保持不 变。
• 能量方程说明，理想不可压缩流体恒定元流中， 各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不 变 • 特例：静止液体
dQdt( z2 z1 )
2 u2 u12 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) dQdt( ) 2g 2g
总能量方程式
u u ( p1 z1 )dQ ( p2 z2 )dQ 2g 2g
5
2 1
2 2
单位时间内γdQ重量流体 的能量平衡方程
渐变流中某一流段
16
上式具有三种积分类型，下面分别 讨论：
• •
( z )udA ( z )dQ 第一类积分：
A
p
p
•
只有在所取断面上水流为均匀流或渐变 流时，则在过水断面上z+p/γ为常数，积 分才有可能。 所以
( z )udA ( z )dQ ( z )Q
z1
p1
z2
p2
2 理想液体元流能量方程 各项意义 2 2 p1 u1 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
1、力学意义：体现了动能定律，运动液体中功 和能的转化 2、能量守恒：比位能、比压能、比动能 3、几何意义：位置高度、压强高度、流速高度 4、水力学意义：位置水头、压强水头、流速水 头；水头线图（P-52,3-9 C，四条基本线—零水头线、
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dQdt u
2 2
2 1
2 2
2 1
（b）
（ c）
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt
2 dQdt u2
（a） （b） （ c）
g
2 u12 u2 u12 ( ) dQdt( ) 2 2 2g 2g
• 式中dH为微分流段的总水头差。 • 水力坡度（比降）表示单位流程的水头损 失，由于dH=H2－H1为负值，故在式前加 负号使Ｊ为正值。
5、伯努利方程的应用—毕托管测速
测液体时
u z 常数 2g
p
2
pa
u2 0 2g pb
u 2g
pa pb
pa pb
一、能量方程的依据原理 功能原理—外力所做的功等于机械能的变化
1、方程的导出
对如图不可压缩理想流体
恒定流动力学模型，dt时
段内功能变化：
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt （a）
u u u ( ) dQdt( ) g 2 2 2g 2g dQdt( z2 z1 )
• 先从最简单的理想液体元流情况入手。
推导步骤
1. 2. 3. 4. 5. 假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力 外力作功 p1dA1u1dt-p2dA2u2dt 动能改变 dEk=½dQdt（u22-u12） 势能变化 dEp=ρ dQ dt g Z2- ρ dQ dtgZ1 依据功能原理列等式
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Fra Baidu bibliotek
3-28
• 如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’ 表示，则得出实际液体元流机械能平衡方 程式（3-28）：
2 u12 p2 u 2 ' z1 z2 hw 2g 2g
p1
• 各断面的机械能可以转换，但总机械能 沿程减少。 • 水力坡度、测管坡度
恒定总流能量方程的图示
u u ( p1 z1 )dQ ( p2 z2 )dQ 2g 2g
两边除以γdQ
2 1
2 2
p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
3-27
理想不可压缩流体恒定元流能 量方程——伯努利方程
单位时间内、单位重量流 体的能量平衡方程
2 p u 任意断面有： z 常数 2g
hl1 2
沿程损失使总水头线表现为 水平直线，局部损失会出现 一垂直下降
p2
Hp2
总水头线 测压管水头线
水流轴线
Z2
H2
H1 H 2 h12 p 2 H Z 2g
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• 对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的 概念。其定义为： dH dhw J ds ds
位置水头线、测压管水头线、总水头线）
3、实际流体
实际流体比理想流体
多了粘性阻力引起的 能量损失：
p1 p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
3-27
单位能量损失或水头损失
2 u12 p2 u2 z1 z2 h'12 2g 2g
hV
u 2 ghV
——实验校正流速系数。
15
第五节 恒定总流能量方程式
总流能量方程由元流能量方 程在两个断面的积分得到：
u12 ( p1 z1 )dQ 2g A1
2 u2 ( p2 z2 )dQ h'1 2 dQ 2g A2 A2