(甘志国)《美国数学月刊》数学问题精选

《美国数学月刊》数学问题精选

甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2012(1)：22-27)

美国的《美国数学月刊》和《数学杂志》都是世界上的著名杂志，目前国内还没有同样性质的刊物.几十年来，它们刊登了大量饶有兴趣、紧跟时代发展的数学文章和问题.这些文章的深度大多可被具有高中至大学文化程度的读者所理解，且又与当时科学界所关心的热点和前沿问题有关，所以对一般读者起到了普及和鸟瞰作用.冯贝叶编译的《500个世界著名数学征解问题》(哈尔滨工业大学出版社，2009)中介绍了《美国数学月刊》和《数学杂志》中的部分问题，笔者认真研读了该书，特选择以下适合高中师生阅读的问题奉献给读者们(选题的顺序基本是按照该书的先后顺序）. 1 代数问题

题 1 ( 由AMM 5304(即《美国数学月刊》数学问题5304)改编)根据数列1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,…的规律可知，该数列被省略的头五项是 .

解 1,2,2,1,1.我们先把该数列作如下分组：

(1),(2,2),(1,1),(2),(1),(2,2),(1),(2,2),(1,1),(2),(1,1),(2,2),(1),(2),(1,1),(2),(1),(2,2),(1,1),(2), (1,1),(2),(1),(2,2),(1),(2,2),(1,1),…

第1项是1，即第1个括号是1个1；所以第2项是2，得第2个括号是2个2；因为第3项是2，所以第3个括号是2个1；因为第4项是1，所以第4个括号是1个2；因为第5项是1，所以第5个括号是1个1；因为第6项是2，所以第6个括号是2个2；……

由此规律便得答案.

题2 (AMM 10947)证明：对任意正整数n n n

n 4325551+++，

是合数.

证明 设n n n

n f 432555

1)(+++=.由恒等式

)1)(1(12342342468+-+-++++=++++x x x x x x x x x x x x

得

∈+-+-++++=k k f k k k k k k k k )(15555)(15555()2(234234N*) ①

再由恒等式

222234)1(5)13(1+-++=++++x x x x x x x x

得

∈+-⋅+-++⋅++=-------k k f k k k k k k k k )(155355)(155355()12(121324121324N*) ②

由①②立得欲证成立.

题3 ( AMM 1176)设∈d c b a ,,,R ，1=-bc ad ，bd ac d c b a Q +++++=2222，

证明：1,1,0-≠Q .

证法 1 得2

2

2

2

)()()()(22c b d b d a c a Q ++++-++=-，若022=-Q ，可得

0====d c b a ，这与1=-bc ad 矛盾！所以1,022>>-Q Q ，欲证成立.

证法2 可得2

22232323⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-d c b d c a Q ，可得3≥Q . 题4 (AMM 1977)求出所有的构成等差数列的实数w z y x ,,,，使得

3333w z y x =++.

解 设d a w d a z d a y d a x 6,5,4,3+=+=+=+=，代入3333w z y x =++后，得

0,0)219(22==++a d ad a a

所以∈=d d d d d w z y x )(6,5,4,3(),,,(R ).

题5 (AMM 10947)设a 是已知的非零整数，证明：方程a y x =+33至多有有限组整数解.

证明 由已知的非零整数a 至多有有限组分解方法，设其中一种分解方法是

∈==i i i i c b n i c b a ,,,2,1(； Z ).由))((2233y xy x y x y x a +-+=+=，得

),,2,1(2

2n i c y xy x b y x i

i

=⎩⎨⎧=+-=+ ),,2,1(0

332

2n i c b x b x b y x i i i i

=⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+ 当i b 已知时，由以上方程组的第二个方程知，x 最多取两个整数，所以当i b 已知时，最多得两组整数解，所以对于已知的非零整数a ，方程a y x =+3

3至多有n 2组整数解.欲证成立.

题6 (AMM 1797)求出方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==--)

(2323

33z y x xyz

z y x 的所有正整数解.

解 由第一个方程，得

0])()())[((222=++-++--x z z y y x z y x

若∈z y x ,,N *，得x z y =+.再由第二个方程可得原方程组的所有正整数解是

)1,1,2(),,(=z y x .

题7 (AMM 2367)设由递推式∈--=++n a a a n n n (212N *)1,1,21-==a a 定义了数列{}n a ，证明：2

272n n a -+是完全平方数.

证明 可先用数学归纳法证得∈n a Z 及∈=-++n a a a n n n n (222

1N *)，所以

n n n n a a a 244422

1⋅=-++.把n n n a a a 84412+=-++代入该式后可得

2

22172)2(n n n n a a a -=+++

所以欲证成立.

题8 (AMM 1323)证明：关于x 的方程1

21-++++=n n x x x nx 的实根除1外，

其绝对值均小于1.

证明 若关于x 的方程1

21-++++=n n x

x x nx 的实根1≠x 且1>x ，得

n n

n n nx x n x x x x x x =≤++++≤++++--1

2

1211

n n nx x x x ≤++++-121 (当且仅当1=x 时取等号)

由此知，欲证成立.

题

9

(AMM

10375)

设

数

列

{}

n u 满足

∈+++-+=++n u n n n u n u n n n ()32)(12()1(4)32(22122N *)，且21,u u 是已知数，求数列

{}n u 的通项公式.

解 设∈=

n n u v n

n ()!

2(N *)，得 ∈+-+=+++n v n v n v n n n n ()1()32()2(12N *) ∈-+=-++++n v v n v v n n n n n )()(1())(2(112N *)

∈-=-++n v v v v n n n )((2))(1(121N *)

∈+-=

-+n n v v v v n n (1

)

(2121N *)

用累加法，得

⎪⎩

⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+==)

2(131

21)(2)1(121

1n n v v v n v v n

∈⎪⎭

⎫

⎝⎛

++++

-+-=n n v v v v (131211)(2231221 N *)