3.4离散小波变换

A f
2
≤ ∑ Wf (2 j , b) ≤ B f
2 j∈Z
2
, f ∈ L2 ( R ) 。
j 这是因为二进小波变换 W f 2 , b 的傅立叶变换
(
)
⎡ 1 ⎛ t ⎞⎤ ⎡W f ( 2 , b ) ⎤ = ⎡ f t ⎤ ( ) ⎦ ⎢ 2 j ψ ⎜ 2 j ⎟⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ， 1 j j = F ( ω )i j i 2 Ψ ( 2 ω ) 2
第 3 章 小波变换
3.4 离散小波变换（DWT, discrete wavelet transform）
由小波变换的反演公式
1 f (t ) = Cψ
+∞ +∞
∫
0
1 W f (a, b)ψ a ,b (t )dbda 2 ∫ a −∞
可知，信号 f (t ) 可以由它的小波变换 W f ( a, b) 精确重建。或者说，函 数是按“基”
2
Wk1 f + k2 g ( s, b ) = k1W f ( s, b ) + k 2Wg ( s, b ) ，
这里 k1 , k2 为任意常数。 2） 平移性 设 f (t ) ∈ L2 ( R ) ，则
W f ( t − t0 ) ( s , b ) = W f ( t ) ( s , b − t 0 ) 。
−j ψ j ,k ( t ) = a0 2ψ ( a0 t − k ), −j
j, k ∈ Z ，
若对于任何 f (t ) ∈ L ( R) ，有
2
A f
where
2
≤
t =−∞
∑
+∞
f ,ψ j , k
2
2
≤B f
2
,
0 < A ≤ B < +∞
（1）
f (t ) =
2
+∞
−∞
∫
f (t ) dt ，则称
二进小波介于连续小波和离散小波之间， 由于它只是对尺度因 子进行离散化，在时间域上的平移量仍保持着连续的变化，所以二进 小波变换具有连续小波变换的时移共变性。 这是正交离散小波所不具 备的，故在奇异性检测、图像处理方面十分有用。
8
第 3 章 小波变换
j 若要从二进小波变换 W f 2 , b 重构 f (t ) ，需要满足下列的稳定
f g 0 −∞ R
其中
+∞
Cψ =
5） 反演公式
∫
0
Ψ (ω )
2
ω
d ω. 。
设 f (t ) ∈ L2 ( R) ，则
1 f (t ) = Cψ
+∞ +∞
∫
0
1 W f ( s, b )ψ s ( b − t ) dbds. ∫ s −∞
总之，卷积型小波变换与前面的相关性小波变换并无本质不同。
1 ⎛ b−t ⎞ f t ψ ( ) ⎜ ⎟ dt s∫ s ⎝ ⎠ s
为 f (t ) 的卷积型小波变换，记为 W f ( s, b ) 。 卷积型小波变换与前面的相关性小波变换相比较，有两点区别： （1） 伸缩系数不同； （2） 用卷积代替了相关； 卷积可以进行对不同粗糙程度的 “磨光” 操作。 但实际上卷积和相关两者能互相转换。 可以证明下列性质： 1） 叠加性 设 f (t ), g (t ) ∈ L ( R) ，则
若 ψ j ,k ( t )
{
}
j , k∈Z
还是线性无关的，即当
j , k∈Z
∑C
j ,k
ψ j ,k ( t ) = 0 时，必
有 C j ,k = 0 ，则称 ψ j ,k ( t )
{
}
j , k∈Z
为 Reisz 基。
下面用满足框架条件的离散小波变换 W f ( j, k ) = f ( t ) ,ψ j ,k ( t ) 来讨论 f ( t ) 的重构问题。 紧框架（tight frame） 若 A = B = 1 时，有
，所以 这样 {ψ j ,k ( t )} j ,k∈Z 就构成 H 的一个标准正交基（或规范正交基）
f ( t ) = ∑ C j ,kψ j ,k (t ) ， f ( t ) ,ψ m,n = ∑ C j ,k ψ j ,k ,ψ m,n ，
j ,k
j ,k
当 ( j , k ) ≠ ( m, n ) , ψ j ,k ,ψ m,n = 0 。所以 Cm,n = f ( t ) ,ψ m,n (t ) ，于是就 得（2）式。 若 A = B ≠ 1 时，有 证毕。
3.4.1 参数的离散化
尺度参数 a的离散化
通常取
a = a0j ,
对应小波：
j=0, ± 1, ± 2,...
a0 > 1,
1
第 3 章 小波变换
1 a0j
ψ⎜
⎛ t −b⎞ −j −j 2 a = 0 ψ ( a0 ( t − b ) ) j ⎟ ⎝ a0 ⎠
位移参数 b 的离散化
对 于 j=0 ， 考 虑 一 个 合 适 的 b0 ∈ R
二进小波变换的定义
将卷积型小波变换中的尺度函数离散化成 s 波变换。
2 定义：设 f (t ),ψ (t ) ∈ L ( R) ，称
= 2 j ，得到二进小
W f ( 2 j , b ) = f ∗ψ 2 j ,b ( t ) =
为 f (t ) 的二进小波变换。
1 2j
∫
R
⎛ b−t ⎞ f (t ) ψ ⎜ j ⎟ dt ⎝ 2 ⎠
{ψ ( t )}
j ,k
j , k∈Z
构成了一个小波框架。
从物理上说，上式描述了信号 f (t ) 在变换后能量的稳定性。常数
B < +∞ 保证了变换 f →
{
f ,ψ j , k
} 是连续的，而 A > 0 保证了变换是可逆
的。
3
第 3 章 小波变换

Reisz 基
A Riesz basis is a frame whose vectors are linearly independent.
f ( t ) = ∑ f ,ψ j ,k ψ
j ,k
j ,k
(t ) 。
这就是小波函数对函数 f (t ) 的冗余表示，这实际上是由小波框架函 数重构函数的最普遍的表达式。 Daubechies 曾经进行过深入研 实际问题中如何找到ψ j ,k ( t ) = ? ， 究的研究。前面的几乎紧框架情况，对于 A 和 B 相互接近且
构公式：
f (t ) = 2 ∑ f ,ψ j ,k ψ j ,k (t ) + r A + B j ,k
（4）
其中是 r =
ε
2+ε
F 阶的，A 与 B 越接近，误差越小。
冗余表示 一般情况下，小波框架 {ψ j ,k ( t )} j ,k∈Z 不是正交基，它提供了对函 数 f (t ) 的一种冗余表示，这种表示使得恢复信号 f (t ) 的数字计算十分 稳定。 我们知道，当 A ≠ B 时，
B ε = − 1 << 1 的情况，取了 A
ψ j ,k ( t ) =
2 。 A+ B
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第 3 章 小波变换
3.4.3 二进小波变换
卷积型小波变换
1 ⎛t⎞ 2 设 f (t ),ψ (t ) ∈ L ( R ) ，记 ψ s = ψ ⎜ ⎟ ， s > 0, 则称 s ⎝s⎠
f ∗ψ s ( b ) =
ψ j ,k ( t ) = a
离散小波变换的定义
−j 2 0
−j ψ ( a0 t − k ),
j, k ∈ Z
若 ψ (t ) ∈ L2 ( R) ， （ L2 ( R) 为 ψ (t ) 的 矢 量 空 间 ， R 为 实 数 集 ） ，
−j a0 > 1, ψ j , k ( t ) = a0 2ψ ( a0 t − k ) , −j
j ,k
并记ψ
j ,k
(t ) = F −1ψ j ,k (t ) ，并取ψ j ,k (t ) 是对ψ (t ) 进行伸缩平移得到的，
即令ψ j ,k (t ) 是ψ j ,k (t ) 的对偶小波，
5
第 3 章 小波变换
ψ
我们得到：
j , k (t ) = a
−j 2 0
−j ψ ( a0 t − k) 。
ψ a ,b (t ) 的分解，系数就是小波变换，但是这里基的参
数 (a, b) 是连续变化的，所以这些基ψ a ,b (t ) 之间不是线性无关的，它 们之间是有“冗余的” （ redundant ） ，这就导致了各点小波变换
W f (a, b) 之间有相关性。
要消去各点小波变换之间的关联，需要在函数族
{ψ
a ,b
(t )} 中寻
找相互正交的基函数， 通过将ψ a ,b (t ) 中的参数 (a, b) 离散化可能解决 问题，也就是说，将小波基函数ψ a ,b (t ) 的参数 (a, b) 限制在一些离散 点上取值。 但是，注意，离散小波变换只是把参数 (a, b) 离散化，并没有将 待分析信号 f (t ) 和分析小波ψ a ,b (t ) 的时间变量 t 离散化。
a0j 倍，因此采样间隔可以扩大 a0j 倍而不会引起信息丢失，这时位移
参数取为 b = a0 b0 。
j
如下得离散化后且不会损失信息的小波函数：
1
⎛ t − ka0j b0 ⎞ −j −j ψ⎜ = a0 2ψ ( a0 t − kb0 ) , ⎟ j j a a0 ⎝ 0 ⎠
j, k ∈ Z
调整时间轴使得 kb0 化为整数 k ，于是离散后的小波函数为
(R 为 实 数 集 ） ，使得
ψ ( t − kb0 ) , k = 0, ±1,... 能覆盖整个时间轴且信息不会丢失。
j 对 于 其 它 尺 度 a0 ,
−j 2 0
j= ± 1, ± 2,... 下 的 小 波 函 数
a
−j ψ ( a0 ( t − b ) ) ，因为在它时间轴上的宽度是小波母函数ψ (t ) 的
f (t ) =
j , k∈Z
∑C
j ,k
ψ j ,k (t ) ，如果可以， C j ,k = ?
下面需要引入框架的 0 概念来回答这两个问题。 3.4.2 小波框架和 Reisz 基 引入基底和框架的概念， 用于研究一个函数空间中的无穷多个元 素之间的关系或求其表达式。
小波框架 Frame
由小波函数构成函数空间的框架称为小波框架。其定义为 设ψ ( t ) 是小波母函数，则
j , k ∈ Z ，则定义：
j ,k
W f ( j , k ) = f ( t ) ,ψ j ,k ( t ) = ∫ f ( t )ψ
R
( t ) dt
为 f ( t ) 的离散小波变换。 离散小波变换是尺度－位移平面的离散点上的函数， （这些点是
2
第 3 章 小波变换
规则分布的） ，与连续小波变换比较少了许多点上的值，自然会引起 以下的问题： 1） 离散小波变换 W f ( j, k ) 是否包含了函数 f ( t ) 的全部信息？ 就是说，能否由 W f ( j, k ) 重构原函数 f ( t ) ； 2） 是 否 任 意 函 数 都 能 以 ψ j ,k ( t ) 为 基 表 示 出 来 ， 即 有
3）尺度法则 设
f (t ) ∈ L2 ( R) ，则 W f ( λt ) ( s, b ) = W f (t ) ( λ s, λ b ) 。
4）乘法定理
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第 3 章 小波变换
设 f (t ), g (t ) ∈ L ( R) ，则
2
+∞ +∞
1 ∫ ∫ s W ( s, b )W ( s, b ) dbds = Cψ ∫ f ( t ) g ( t ) dt ,
g ( t ) = ∑ f ,ψ j ,k ψ j ,k (t ) = Ff ( t ) ，
j ,k
但此时上式并不能保证与 f (t ) 相等。 考虑
f ( t ) = F −1 g ( t ) = F −1 ∑ f ,ψ j ,k ψ j ,k (t )
j ,k
= ∑ f ,ψ j ,k F −1ψ j ,k (t )
(
)
性条件。
稳定性条件
设存在常数 0 < A ≤ B < ∞ ，使
A ≤ ∑ Ψ ( 2 j ω ) ≤ B.
2 j∈Z
j 称由 W f 2 , b = f ∗ψ 2 j ,b ( t ) =
(
)
1 2j
∫ f ( t )ψ ⎜ ⎝
R
⎛b−t ⎞ ⎟ dt 定义的小波 ψ (t ) 2j ⎠
是稳定的，并且有如下的关系式存在：
f ( t ) = ∑W f ( j , k )ψ j ,k (t ) = ∑ f ,ψ j ,k ψ j ,k (t )
j ,k
j ,k
（ 2）
小波框架是小波正交基。 证： 因为此时 A f ≤
2
t =−∞
∑
+∞
f ,ψ j , k
2
2Leabharlann ≤B f2变成
2
f (t ) =
j , k∈Z
∑
f ,ψ j ,k (t )
f ( t ) = A−1 ∑ f ,ψ j ,k ψ j ,k (t )
j ,k
（3）
这里已经从前面得出了。
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第 3 章 小波变换
几乎紧框架（snug frame, snug = comfortable, close-fitting：a snug jacket）
B 实际上很难 A = B ，只有相互接近且 ε = − 1 << 1 ，则有如下的重 A