随机变量的分布函数

1 1 x arcsin x 2
2
x
1
对 x>1， F (x) = 1
即
x 1 0, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1 (3).
1 1 2 2 P( X ) 1 x dx 2 2 sin 2t 6 1 1 1 3 (t ) F( ) F( ) . 2 6 2 2 3 2 1
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
• 例3.2.4
设§是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概 率为 (t )t (t ), (t )是与t有关的正值函数， 求 §的分布函数为。
3.4
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
x1 x2
y
f (x)
o x1
x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:P79中
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
• P66定理3.2.1 • 例3.3.2 一个班有100名学生其中20岁的 有30人，21岁的有40人，22岁的有30人。 现从班上任意挑选一名学生，§是学生的 的年龄，求§ 的分布函数
• 例3.2.3 在△ABC中任取一点，设§为该点 到底边AB 的距离。又已知AB上的高位h， 求§的分布函数F(x)及F(x)的导数，并画出 F(x)的图像。
阶梯状的图形， 在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).
F ( x)
1
1 2
12 13 16
0
O
16
O O
1
2
x
三、分布函数的性质 (1) 0≤F(x)≤1, －∞<x<+∞; (2) F( ) = lim F(x) = 0
F(x) = P(X x)
1 x < 2 时， 1 1 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 6 2 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
当
故
x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 x2 1,
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
x
F(x) =


0
x0
x 0 1
tdt tdt
0
0 x 1
x
1
(2 t )dt
1
1 x 2 x2
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) 2 x 2x 1 , 1 x 2 2 x2 1,
下面我们从图形上来看一下.
注意右连续
0, 1 / 3, F ( x) 1 / 2, 1,
x0 0 x 1 1 x 2 x2
X
P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
概率函数图 分布函数图
P( X x ) F ( x )
1
1 2
画 分布函 数图
12 13 16
0
O
16
P ( a X b) P ( a X b)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P ( X R a) f ( x )dx P ( X a) 1


而 {X=a} 并非不可能事件
{ X R {a}} 并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
3.2
随机变量的分布函数
( x )
一、定义： 设 X 是一个 r.v，称
F ( x) P ( X x)
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 ( , x ] 的概率.
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为 (1) 求X取值在区间 0, x 0 2 (0.3,0.7)的概率； F ( x) x , 0 x 1 (2) 求X的概率密度. 1, x 1 解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
——— |——>
X x
F ( x ) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
F ( x ) P( X x), x
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o 下面给出几个r.v的例子.
x
例1. 设r.v X 的密度函数为 f (x)
A 2 1 x , 1 x 1 f ( x ) 0,其它
x a, a x b, x b.
满足概率密度性质。 它的实际背景是： r.v X 取值在区间[a, b] 上， 并且取值在[a, b]中任意小区间内的概率与这个 小区间的长度成正比.则 X 具有[a,b]上的均匀 分布.
例1.
X P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
，求 F(x).
解:
当 当
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P(X x) = P(X=0) = 3
例1.
X
P
0
1
2
1 3
1 6
1 2
，求 F(x).
解:
当
2. 对f(x)的连续点，有
F' ( x ) f ( x )
由此 F(x)与f(x)可以互推。
概率密度函数的性质
1.
2.
f ( x) 0



f ( x)dx 1
y
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
o
x
3．
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x )dx

1 2 1 2
大家一起来作下面的练习. x, 0 x 1 例 2 设 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
求 F(x).
F ( x ) f ( t )dt

x
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.
F ( x ) f ( t )dt
一. 连续型随机变量、概率密度定义 设F（x）是随机变量X的分布函数，若存
在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有
F ( x)
率密度。
变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概
y
f (x)

x

f (t )dt
，则称X为连续型随机
o
x
由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x)
是连续函数.
dF ( x ) 2 x, 0 x 1 (2) f(x)= dx 0, 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 F ( x ) 没意义的点处，任意规定 F ( x ) 的值.
几种重要的连续型随机变量
均匀分布 （1）若 r.vX的概率密度为：
x
F( ) = lim F(x) = 1 (3) F(x) 非降，即若 x1<x2，则F(x1) F(x2) ;
x
(4) F(x) 右连续，即 lim F ( x ) F ( x0 )
x x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某 个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是 鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分 必要条件.
f ( x )x 在连续型r.v理论中所起的作用与
P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的
作用相类似.
P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是
连续函数。任意a∈R。 由此得， 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b) P ( a X b)
1 ,a x b f ( x ) b a (a b) 0, 其它 a
f ( x)
b
则称X服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作：
X ～ U (a , b )
分布函数为:
f(x)≥0,



1 f ( x )dx dx 1 aba
b
0, x a F ( x) , b a 1,
求 (1) A , (2) F(x) ,
1
解： （1）由性质2，
1 1 (3) P ( X ) 2 2
x sin t



f ( x )dx

2
A
1

1 x dx
2


A

2


2
cos tdt
2
1 cos 2t A sin 2t 2 A dt (t ) 1 2 2 2 2 2 2 A
例2. 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在 [ 2 , ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 或者
F ( ) lim F ( x ) 0
x
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f ( x )x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ] 的 概率近似等于 f ( x )x .
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 }
= F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
F ( x ) P( X x), x
A=2.
2 1 x2 , 1 x 1 f ( x ) 0, 其它
求 F(x).
解： (2)
F(x) = P(X x) =

1
x

f (t )dt
对x < -1，F(x) = 0
F ( x)
1

对 1 x 1, x 2 2 0 dt 1 t dt