理想流体的运动微分方程

解：设p1为表压强。
在水管关闭时，以1-1为基准面列1-1截面和2-2截面的柏努 利方程：
p u e 均＝ z Q Q A 2g E 1
2
，
u d A
如果所取断面符合缓变流条件时，有效断面上各 p 点 z 为一常数，并由连续性方程 A u d A Q ， 上式变为：
z+
e 均＝ Q

p

udA
A
1 2 gQ

u dA
A
3
动能修正系数α是由于断面上速度分布不均匀而引起的， 不均匀性 愈大其值愈大。在紊流管道中α＝1.05~1.10；圆管 层流运动α＝2。实际工程计算一般取α＝1。
对于管道流动，取如图 基准面，列出1－1和2－2截 面的总流柏努利方程：
p1
z1


1 v1
2g
2
z2
p2


2v2
2g
2
式中：α1，α2分别为两截 面处 的动能修正系数；
v1，v2分别为两截面处的平均流速，m/s。
g z1
p1


v1
2
2
v1
2
2
gz2
p2


v2 2
2
（1）
2
g z1 p1
gz2 p2
v2
2
2
（2）
z1
p1


v1
2
2g
z2
p2


v2
(2) 在x轴方向上的质量力为：
X d xd yd z
式中 X为单位质量力在x轴方向上的分量。 (3) 在 x方向的合外力代数和应为质量与分加速度 du x 即乘积： F x m a x d xd yd z
所以有： X d xd yd z 得 X
p x du x dt
du x dt dx u x u x x dx u y u x y dx u z u x z dx
由流线方程：
dx dy uy
u x y

dz uz
dt
有：
du x dt dx u x u x x
ux
dx u x
dy u x
u x z
dz u xdu x
1.3.4 理想流体的运动微分方程
1.3.4.1理想流体运动微分方程推导 原理：牛顿第二定律：

F ma
在微元六面体的中心 有一点 A ，该点流体 的密度为 ，压力为 p ， 微元六面体的边长为 d x , d y , d z 对微元六面体 进行受力分析。
a b cd 面上中心点 m 的压强为 p m ； efg h 面上中心点 n 的压强为 p n ；
通常工程上取 =1 所以：
z1 p1 v1
2


2g
z2
p2


v2
2
2g
hw
如果管道中装设有对流体作功的机械，能够使管道 中的流体的机械能增加。如果单位重量的流体所获得的外 加有效机械能为He J/m或m，则柏努利方程式可写为：
z1
p1

源自文库

v1
2
2g
H e z2
y
1 p


du y dt
du z dt
z
这就是理想流体运动微分方程，即欧拉运动微分方程。
欧拉运动微分方程写成：
X
Y
1 p
x
1 p


du x dt
du y dt


u x t
u y t
ux
ux
u x x
u y x
uy
uy
u x y
1.3.4.2欧拉运动微分方程的求解
欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速 度之间的关系，它是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩及不 可压缩理想流体的稳定流动都是适用的。 一般情况下，作用在流体上的单位质量力X、Y、Z是已知的，对
理想不可压缩流体密度为常数，三个微分方程中未知数有四个，即ux、 uy、uz和p，因此需要加上连续性方程，方程是可解的。 对于可压缩流体，密度是变量，需要再加上气体状态方程式，方 程组理论上也是可以求解的。 然而，要具体确定方程组的解，还要给出起始条件和边界条件。
1 2
d (u x )
2
同理：
则
du y dt
dy
1 2
d (u y )
1 p
2
和
p y p z
du z dt
dz
1 2
2
d (u z )
2
2
X dx Ydy Z dz
x
(
dx
dy
dz ) d (
ux uy uz 2
2
)
设存在这样一个函数 U （力函数），满足：
由柏努利积分式：
U

1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2

p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1

p1
u1
2
2
gz2
1

p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
单位重量流体所具有的的静压能、位能、动能。 它们的和是一常数。柏努利方程是机械能守恒定律 在流体力学中的具体体现。
(2)几何意义 图示能量分布图：
p1 r z1 v1
2

p2 r
2g
z2
v2
2
2g
其中：z为单位重量流体所具有 的位能，又称几何压头或位压头；
v
2
为单位重量流体所具有 的静压能，又称静压头，是单位 r 重量流体的压力能产生的流体柱 的高度；
在x轴方向上进行受力分析： （1）表面力：
p dx Fm ( p ) d yd z x 2
Fn ( p
p dx ) d yd z x 2
则 x方向的净表面力
F x Fm Fn ( p p dx x 2 ) d yd z ( p p dx x 2 ) d yd z p x d xd yd z
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z

du z dz

u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
p x
dt
d xd yd z d xd yd z
du x dt
或 X
1 p
x
1 p

du x dt
同理在y，z轴方向上也有：
Y 1 p
y

du y dt
和
Z
z

du z dt
因此，得到：
X 1 p du x dt
x
1 p
Y
Z
p2


v2
2
2g
hw
柏努利方程的三种形式：
z1 p1


v1
2
2g
H e z2
p2


v2
2
2g
hw
——以单位重量流体为基准，单位为m流体柱或J/N。
g z1 p1 v1
2
2
H e gz2 p2
v2
2
2
hp
——以单位体积流体为基准，单位为Pa或J/m3。
u x y
uz
u x z
Y
1 p
du y dt
y
1 p

u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
z

du z dz

u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
因为只考虑稳定流动，所以上式中的p，ux，uy，uz 都只是坐标x，y，z的函数，而与时间无关。 将上面的三式分别乘以 d x , d y , d z ，累次相加。首先 分析 x方向的动能：
U x X, U y Y, U z
2
Z
那么： 积分：
u dU dp d 2 1
U

1
dp
u
2
…… 柏努利积分式
2
不可压缩： C 只有重力的作用：
（导出条件3） （导出条件4）
X Y 0, Z g , U gz ;
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1


1 v1
2g
2
z2
p2


2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
p u d E ed G z udA 2g
2
单位时间内通过总流有效断面流体的总能量为：
p u E dE z A A 2g
2
u d A
Q
上式除以通过总流有效断面流体重量流量 G 则得给定断面流体平均单位能量：
p1

z1
v1
2

p2
2g

z2
v2
2
2g
1.3.6.1微细流 对于不可压缩的粘性
流体的微细流，作稳定流
动时其柏努利方程式应改 写成为：
2 2
p1

z1
u1

p2
2g

z2
u2
2g
hw
式中的 hw是为克服截面1－1与2－2之间的阻力，单 位重量的流体所消耗的机械能，称为压头损失。
得：
e均
p 1 z 2 gQ

u dA
A
3
上式中前两项为总流在有效断面上单位重量流体的平 均位能和压力能，第三项为单位重量流体的平均动能，单 位为流体柱高。
为了方程的方便应用，现在用断面平均流速v代替真 实速度u，并引入动能修正系数α。
e 均＝ z p


v
2
2g
p
2g
为单位重量流体所具有
的动能，又称速度压头或动 压头，是单位重量流体的动
能所产生的流体柱的高度。
(3)柏努利方程还说明机械能是可以相互转化的。
1-1截面→2-2截面 z2<z1
v2
2

v1
2
2g
2g
则
p2 r
p1 r

p1 r
v1
2
z1

p2 r
2g
z2
v2
2
2g
柏努利方程的应用条件：
g z1 p1 v1
2

2
H e gz2
p2


v2 2
2
hm
——以单位质量流体为基准，单位为m2/s2或J/kg。
例题：如图所示，有一开口大容器的出水管管径为d=10
cm ，当水龙头关闭时压力表读数为49050 Pa（表压），水 龙头开启后压力表读数降至19620 Pa（表压）。如果水流动 时的总能量损失为4905 Pa，而上水位保持不变，试求通过 管路的水流流量。
（3）
2g
对于式（3）：

v1
z —单位重量流体具有的位能，m流体柱；
2
p —单位重量流体具有的静压能，m流体柱；
—单位重量流体具有的动能，m流体柱。
2g
1.3.5.3 柏努利方程式的解释 (1) 物理意义
p1 r z1
1 v1
2g
2

p2 r
z2
2v2
2g
2
柏努利方程式中各项分别表示微细流中某一截面上
1.3.5 理想流体的柏努利方程式 1.3.5.1 理想流体稳定流动沿流线（微细流）的积分 条件： 稳定流动：
t 0
（导出条件1）
（导出条件2） 0 理想流体： 将欧拉运动微分方程写成：
X 1 p
x


du x dt

u x t
ux
u x x
uy
1）单流体，z轴的方向向上为正； 2）截面选择在缓变截面上；
3）流体为理想流体；
4）流体为稳定流动； 5）流体为不压缩性流体； 6）流体只受到重力作用。
1.3.6实际流体（粘性流体）的柏努利方程式
实际流体都具有粘性，使得流体流动时需要消耗一 部分机械能，以克服由于粘性而产生的切向阻力。因而 在各截面上单位重量流体的能量便不能保持一定，所以 对于粘性流体的微细流：
急变流：不符合缓变流条件的流动为急变流。
（2）理想流体稳定流动总流的柏努利方程
现在讨论如何把微小流束柏努利方程应用于总流的 缓变流断面，从而建立理想流体总流的柏努利方程。
在任一微小流束上某一断面的流体质点具有的单位 重量流体机械能为：
e z
p


u
2
2g
以 d G u d A 的重量流量通过微小流束有效断面的 流体总能量为：