韩国高考真题的数学能力分析

2006年韩国高考真题的数学能力分析理科：内容, 数学能力, 素材与难易度分析
1 二元目的分类表格
❏‘理科’
• 选作科目
❏‘文科’
内容分析
数学‘理科’由数学一,数学二及选择科目中的微积分,概率与数理统计,离散数学构成. 今年也和往年一样在数学一中出了12道题, 在数学二中出了13道题，选择科目中各有5道题
从二元目的分类表格中我们可以知道问题所属的单元没有偏重某特定单元而是各单元平均分配出题的.这一点是准备高考的学生需要注意的部分。

在以前有学历考查和模仿考查的时候出现了这样的倾向即由于这些测试偏重某特定的单元出题，因此学生会在临考试之前放弃一些单元而集中复习出题频率较高的单元. 然而现在的高考改变了这中倾向，树立了个单元平均出题的大原则.
特别在选择科目中，各单元都毫无遗漏的出了题，没有漏掉任何一个部分. 这种出题方向是非常好的。

理科学生学习的数学二的内容，相对于难度来讲数学一的出题比重过大也是事实.也就是说数学一占12道题，数学二占13道题，对学习理科的同学来讲，感觉要求必须掌握的内容显得相对要少.
数学一的｢矩阵｣的题相对于模拟考试的难题来讲要简单一些, ｢指数与对数｣中出了一道与实际生活相关的题. 指数与对数中关于实际生活(特别是理科)的题经常出现，由此预想这种题型会一直出现. ｢数列｣中应用数学归纳法的证明问题今年只出了一道题，这是今年高考题比较特别的地方. 以前关于多种形态的数列的题都属于考察理解能力，推论能力的题，但这一次却考察了证明能力，并且还只出了一道题. 在｢数列的极限｣中两道问题都是关于无穷等比级数的问题.特别的与图形相结合的无穷等比级数的题以后出现的可能性也非常大. 在｢排列与组合｣, ｢概率｣, ｢统计｣部分的题其难易度也并不大，属于普通的题.
数学二中关于｢方程与不等式｣的题虽然不简单但其求解方法却是固定的，因此对学生来讲不算是陌生的题. 在｢函数的极限｣部分今年又出了考连续的题.这已经是几年连续出这种类型的题了，这一点需要学生特别留意. 关于连续的题型(其他部分也类似)一定要时刻都以连续的定义为基础去解这一类型的题. 在｢微分｣部分中出了利用微分定义求解的题和考查导数，函数的极值的题. 对于准确掌握微分系数,极值定义的学生解题时会有相对容易的感觉. 在｢积分｣中出了与教材中的例题相类似的利用函数图像理解定积分的题. 如果对函数直接求积分，那么计算过程会相当复杂, 如果能将图像做平行移动，那么就会很容易的求解出正确结果. 这是高考题的突出特点. 虽然利用题中一眼能出的表达式来求解有时也是好方法，但如果能掌握出题的意图，那么不需计算能更容易的得出结果，这就是高考的特点. 在｢二次曲线｣中的题，就像经常出现的题型一样，利用各曲线的定义就可以求解出答案. 所谓利用二次曲线定义的问题指的就是与焦点有关的问题. 在二次曲线部分以后的出题倾向也是维持这一形态继续出题.今年高考中最难，最累学生的题属于｢空间图形｣和｢向量｣部分.因为需要高层次的思考能力，如果不是有很强空间想象能力的学生，那么解这一类题就会很困难.特别是对于主要学习空间直线，平面及其方程的学生，对于空间中圆的方程就会很生疏. 再有确定空间中球的位置关系也是相当难的内容. 这种题型也证明了要想学好数学必须学会画好图像才行的属性.
｢微积分｣中的题与模拟考试及去年的高考题相差很大，好像是避免出特别难的题似的. 这是特意调整选修部分难易度的结果. 第28题如果不试图将无穷级数与积分联系起来，而直接求栏中给定的无穷级数的话，就不会感到太慌张. 第29题问的是θ的变化率，那么求出θ(tanθ)的关系式相对比较好一些. 第30题利用微分画函数图像的问题.对平时熟悉函数图像的学生来讲不会感觉很难.
｢概率和统计｣, ｢离散数学｣的个单元都和以前一样平均出了题，对于扎实的掌握教材内容的学生来讲，都是很容易就可以解出的问题.
文科在数学一中共出了30道题. 理科也没有偏重某个特定的单元而在各单元内平均出题，安排的非常好. 这一点对于那些有放弃内容较难单元学习倾向的部分文科学生有很强的教育意义.
｢矩阵」部分的题对于文科学生来讲是很难的抽象问题.除了计算题以外，求解其他的题会占用相当一部分的时间. ｢指数与对数｣部分出的题有简单的指数计算问题,对数计算问题还有关于常用对数的整数部分与小数部分的题. ｢指数与对数函数｣部分出的题有关于指数方程,对数函数的最值的题，还有关于指数，对数函数图像的题。

｢数列｣部分有简单的等差,等比数列的题及利用数学归纳法证明的题，还有出现频率比较高的推测各项求数列和的题. ｢数列极限｣部分的两道题都是关于无穷等比级数的题.特别需要注意的是，以后关于图形与无穷等比级数相结合的题出现可能性会非常高. ｢排列组合｣部分出的题平均分布在排列,二项式定理, 组合等各单元内, ｢概率｣, ｢统计｣部分的题的难度并不大，属于平时经常出现的题型，预计这部分单元的出题倾向会一直维持下去.
数学能力
数学领域中的数学能力分为计算能力, 理解能力推论(推测和证明)能力, 解决问题(数学内的解决和数学外的解决)能力
考查计算能力的问题简单的说就是与计算相关的问题.通常会在矩阵的计算,指数和对数的计算,极限的计算能形式出现，今年高考也主要是在这些单元里出的计算题. 数学‘理’科出的题有矩阵的加法与乘法,有理数的指数运算, 函数的极限, 微分系数的计算。

数学‘文’科中出现了矩阵的加法和乘法,有理数的指数运算,等差数列的计算,无穷等比数列的极限的计算，以后的出现倾向也大概如此.
考查理解能力的问题指的是利用简单的数学原理，定义，定理就可以求解的题. 只是用一两个定义，定理等就可以简单求解的问题，而不是指那些用好几个复合的原理才
可以求解的问题. 数学‘理’科中的数学二中有很多内容都以考察理解能力的形式出现.今年高考题中微分中的极大值，极小值的定义，旋转体的体积，以及函数的定积分, 二次曲线的定义,向量的和及差，向量的模都是考察理解能力的问题.数学二的内容本身很难，所以稍微加以改动就会变成难度很大的考题. 这也是在考察理解能力的考题经常出现的理由. 数学‘文’科各单元中平均出了1~2道题. 以文科学生为考察对象的‘文科’考题中理解能力的考题只能分出主次.这样就不能再偏重某一特定的单元，所以在出题的时候也要特别注意内容的多样化
推论能力分为推测和证明能力,该部分在高考题中具有代表性.推测中常常以数列的推测,函数的推测,空间图形的推测等形式出现，今年高考题中的特点是没有关于数列的数学归纳法的推测问题，而出现了函数连续性急空间图形的推测问题. 证明题一直以来都出的是2道题，但这一次只出了1道题. 通常这部分的会出与数学归纳法,不等式,方程的根的分解, 数系, 解析几何相关的题今年出的题只有1道关于数学归纳法的的题. 这类题需要注意的它的局限性，即这类题不是论述式的证明题，而是以客观题形式出现的证明题. 相对于理解证明过程的整体而言，只需要掌握部分细节就可以求解的题型，以后证明的出题形式会持续如此
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问题解决能力分为数学内的问题解决能力和数学外的问题解决能力，出考查数学内解决问题能力的考题要体现数学内的问题解决的能力高于理解能力. 需要同时掌握多个单元，并了解相互之间的联系才能做出的题，即使是只涉及一个单元，要么使计算复杂，要么需要多种数学知识才能做出的题. 数学‘理’科中常出现的题有关于无穷等比级数, 概率的计算, 概率分布，分式不等式, 空间图形中的四面体的体积, 平面向量的题, 数学‘文’科中常出的题有关于指数方程, 对数函数的最大值･最小值, 无穷等比级数的题，在排列组合,概率, 统计也会每单元出1~2道题. 数学外的问题解决能力也是高考中具有代表性的问题. 可是今年却与往年不同这部分的出题比例明显缩小. 内容上也只是用到了简单的对数的计算. 这种和实际生活相关的问题以后也会经常出现，各位师生切勿忘记. 现在关于数学外问题交杂者两种意见，一种是说背景较为牵强，一种说
有利于数学建模，因此在最近一段时间内高考题也像今年一样，只需要理解数学式子就可以求解题型会继续出现.
对题型的分析
数学代表性题型为.
⑴综合性题型
⑵关于推测或证明的推论式题型
⑶与实际生活相关的数学外问题
今年高考题综合性题型表现出了强势. ‘理科’学生如果在选择科目部分选择了微积分需要做6道积分题. 关于向量的和，差还有向量的模,向量的内积的题(第4题), 确定函数连续性的过程中需要求解三个备选项(第6题要看成综合性问题),给定导函数要求画原函数图像的题(第9题), 关于常用对数的整数部分与小数部分的题(第11题), 罗列两个等比数列求各项和的题(第13题),关于对定积分的理解求无穷等比级数和的题(选择科目第28题)等，从多个单元中出题，其提问的形式也很多样. ‘文科’中的矩阵(27), 数列(29), 极限(13)等是综合性题型中经常出现的题型.
关于推测和证明的题型有所减少.特别是一直以来所维持的1道证明代数题(整数论,方程, 不等式, 数列等),1道几何(解析几何)的既有模式在今年的高考中改变成只出1道用数学归纳法证明数列的题. 关于数学归纳法的题型，不仅去年的高考题出现，在各种模拟题中也经常出现，所以可以预计今后也会持续出这类题(只要证明题不消除). 推测类型的问题中典型的归纳式推论有所弱化，出的题均为接近于理解能力的发现式推论或者演绎式推论的题型.
与实际生活相关的数学外题型也有弱化的感觉. 随着每年这种类型题的出题量的减少来看，好像这种题型已达到了它的上限。

关于矩阵的乘法的定义的问题, 包含对数的关系式等单纯计算的问题, 还有关于人口增加率或者收入增加率的等比数列的问题都
有一种被局限的感觉. 预计作为高考初期最具典型的推论问题和数学外问题在今后的高考中其影响力将会减小. 就算出题也只能出2~3道题的，受此制约其难度也不会怎么大.
难易度分析
数学‘理科’, ‘文科’的所有的题没有特别难的题. 数学‘理科’的选修科目的微积分中也和去年不同，没有出特别难的题. 出题本部也认为今年出的试卷的难度与去年试卷的难度相似. 可是这仅仅是出题委员和教师的想法.对学生来讲还是感觉今年高考试卷比去年的难一些. 虽然没有正确预计难度，但这也不只是今年有的事，整理今年的高考试卷大致理由如下.
第一是综合型(选择所有正确的选项的题型)问题的题数增加了, 所有这类的题没有一道题可以轻易的求解出来. 去年综合型问题有一两道题很简单，很容易求解出来。

在甲，乙，丙三个备选项中肯定有一个需要证明或是需要举出很难想到的反例，或是需要复杂的计算才能得出结论. 学生们一直不善于求解综合型问题，在有恐惧心理的状态下求解上述这类问题时，难免会需要更多的时间.
第二是学生们一直害怕出的题是考察空间想象能力的题，而偏偏这一部分出了空间几何和向量的题.特别的在空间几何中出了要求表示空间中圆的方程问题, 掌握圆上任意一点与平面和圆的交点的位置关系，还需要画出图像，这些对于学生来讲都是很难的比以前难或是简单都不是重要的观察点，因为是大学入学考试出的试卷在实行了变化标准分后必须能区分出优秀的学生和一般的学生，所以多出一些可以区分学生水准的题是很好的做法. 因此预计以后的出题方向也是，对于学生害怕出题的部分，不管内容如何仍然还会出难度较大的题.
2. 以后的高考对策
预计在第三次应用7次教育改成果的的2007年高考中的出题倾向也不会有大的变动，以今年高考的分析资料为基础按如下的步骤准备高考会有更好的效果.
•打实基础
数学上特性上是用前面的内容构成后面的内容的基础，因此如果前面的基础不好，那么就不能很有效率的学习后面的内容，相对于投资的时间来讲效率不高.
数学最重要的基础就是理解教科书上的定义，并会运用公式.大部分学生都会认为自己充分的打实了教科书上的定义，但事实上一旦考核时，会发现有很多基础定义都没有完全理解(两集合相等的定义, 函数的含义, 图像的含义…等定义可以说出来吗?) 将从教科书和参考书上整理出来的定义都装入大脑里，在熟记相关的公式.
特别的是，因为1年级学习的内容没有直接出现在高考试题里，会有学生放松对这一部分的重视. 但在数学的特性上1年级所学的内容是以后学习的基础，而数学一，数学二以及选修科目中的内容是1年级学习内容的展开，即有1年级学习的内容也在考试范围内，要一直同仁的学号这部分内容.
实际分析一下高考真题，会发现如果没有1年级所学内容的支持，就能解出的题基本上没有. 要记住理解考察计算，理解能力试题中的用语，定义，概念，在适当地应用基本原理就可以解出大部分的试题.
•关注反复出现的题型
数学试题中有几种类型的试题就像老顾客一样经常光顾高考试卷. 例如利用图像的交点求实根个数的问题，理解函数图像的问题,利用高斯函数的问题, 利用算数平均值和几何平均值的关系求解最值的问题,利用等价关系求解无穷级数的问题等的试题都是不断变化提问形式而经常出的题，要充分熟悉这几类题型才好.再有由于废除了2005年高考试卷中关于反复出题规定，那么关于重要概念的已出过的高考真题，仍有可能再次作为高考试题出现，所以做已出过的高考真题对培养实战能力也十分重要.
•适应各种类型的题
高考题出的题考察下列5中能力，所从练习时候开始就要适应各种类型的试题.
◦计算能力-计算能力是利用几种基本的计算方法和解决问题的算法求解数值的能力.
◦理解能力- 知道数学基本概念･原理･法则及相关的意义, 使用数学用语,符号, 图像等以数学语言的方式表达的能力.
◦推论能力- ；推论部分分为发现式推论和演绎式推论,发现式推论指的是归纳和类推. 归纳指的是通过罗列, 数数, 观察等方式发现或推测一般原理的能力，类推指的是寻找与已知性质和命题的类似性发现或推测新的性质和命题的能力.
问题解决能力–问题解决能力是指构思多种发现方法寻找解决问题的核心，应用数学概念･原理･法则解决问题的能力. 综合运用两种以上的数学概念･原理･法则解决综合型问题, 运用两步以上的思考过程解决问题能力，以及解决与实际生活或其他背景先关联的数学问题的能力. 平时将新闻或科学书籍上整理相关数学的报道会有益处的。

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•不看答案做题
平时做练习题与高考题最大的差异是高考题上没有附录答案. 因此有‘练习就像实战,实战就像练习’的口号. 如果可能的话，在做练习题时也不要看答案或提示完全依靠自己解题，在自己充分努力之后仍然解不出的情况下在看答案，不要事先就看答案. 看答案解10道题不如自己解1道题
•注重效果去活用考试时间
每道数学题被分配的时间是约200秒( 100分/30)，因此要学会活用时间. 不会解的问题没有办法，但如果因为时间不足而有没有来得及做的题的话，那么无论成绩如何，那都是失败的考试.
有效活用时间最重要的原则就是按难以顺序从简单题开始求解. 总体上来讲前面的问题比后面的问题简单，从分数上看，分数越少，简单题就越多，这一点供读者参考.
考试同时还要求考生在短时间内求解不出难题时需要冷静地在浪费更多时间之前过渡到下一个题上去. 还有要利用问题附近的空白处记录解题的过程，这样可以减少失误，还有在第一次求解过程没有求解出来的问题在有时间剩余时可以接着求解，这样可以节省时间. 像高考题一样构成的有30道题的模拟试卷要养成规定在100分钟以内求解的习惯，通过这种练习，可以训练在规定的时间内解尽可能多的问题.
•利用EBS 播出的节目.
像已经登出的节目报表一样EBS 的讲义内容中有很多都是反应高考题的. 确定符合自己水准的讲义加以反复学习是很有效率的. 相对于电视中规定时间播放的节目，在自己方便的时间内，利用网络看以录制好的讲义有更好的效果
•要有自信心，坚持到底.
最后，最重要的就是坚持不懈的努力.
咖啡壶只烧一会儿就立刻会变凉的，而慢慢加热的饭锅不会马上就变凉，学习数学的道理也与此相似. 学习了很多仍然没有任何效果是数学的特征. 可是一旦有效果了就会维持很久，这是数学又一特征.因为没有必要因为努力了而没有任何效果就着急或失去自信心.
[参考]
※按水平准备的要领
• 处于下游的学生(模拟考试中数学的得分在40分以下的学生)首先要保证所有简单题都能正确解答，先要从基本知识开始. 所有的入学考试都以教科书为根本，高考也不例外. 若分析一下高考试卷就会发现只要能正确理解教科书上的用语，定义，概念，知道基本的原理就可以解出一半左右的题(计算能力和理解能力的题).
所以不要在难题上纠缠浪费时间，重新回味一下基本概念和原理，在以前所做的参考资料集中中间以下的问题是较好的复习方法.
• 处于中游的学生(模拟考试在60分左右的学生)在一般的单元中容易分学得好的单元和学得不好的单元，那么将学得好的单元的自信心扩充到学得不好的单元中去，使数学的自信心扩充成整体的自信心。

通过多做自己薄弱单元相关的练习题弥补自己的弱点.
• 处于上游的学生(模拟考试在80分左右的学生)主要专攻最难部分‘问题解决能力’比较好. 问题解决能力是测定最高水准思考能力的综合性部分, 除了应用数学内各单元的联系性以外，还要应用其他学科及日常生活中出现的数学外的相关问题，因此通过做已经出过的高考真题和多样的练习题，以自主思考能力为主，培养对周边各种情况用数学思维加以解决的能力
※按时期准备的要领
• 上学期
3年级上学期到暑假期间要通过按单元整理的参考书来强化概念，培养对问题解析的理解能力. 恰当的分配‘理科’中数学一,数学二, 选择科目的学习时间，‘文科’则反复的复习深化学习的内容.
• 暑假期间
暑假期间要将1个学期所学的知识按单元的参考书都要整理好，如果感觉不充分在加上其他的参考书整理概念. ‘理科’的学生主要集中时间总结选修部分的内容比较好‘文科’的学生总结后面的统计部分比较好.
• 9, 10日
暑假放假以后，选定高考形态的模拟题按照高考程序反复做练习. 即在规定的100分钟以内解30道题，进行反复的训练.
• 11月
也就是在高考的前10天左右，做新的材料还不如看之前整理过的参考书, 集中精力看从以前的模拟题中抽选出答错的题制成的“错题手册”.
[参考]
※韩国教育过程评价院提出的学习数学的方法
• 解决数学问题的基本方法是培养基本的计算能力和理解掌握求解典型问题程序图能力.
- 理解并应用基本的计算原理和计算法则
- 理解掌握求解典型问题程序图的能力
• 为了可以用数学的解析和分析能力分析具体问题，需要充分理解数学的基本概念,原理,法则
- 要理解教科书上的基本概念, 原理, 法则的意义
- 理解数学的语言(用语, 符号，表达式, 表格, 图像等)的意义
- 用数学概念,原理,法则等数学语言(用语,符号,表达式,表格,图像等)表达构思
- 将数学的语言(用语, 符号, 表达式，表格,图像等)互相转化进行表达
- 寻找与实际问题相关联的数学概念, 原理, 法则
- 重新组织问题，将其与数学概念,原理, 法则相联系
- 求解与数学的基本概念, 原理, 法则想关联的问题
- 为了综合整理数学的基本概念,原理, 法则按一定顺序看教科书的各小节，回想，确定，补充学习内容
• 利用数学的基本概念，原理,法则掌握问题，求解问题培养数学推论能力.
- 将给定的复杂条件进行简单化
-利用给定的简单条件或则特殊条件，寻找一般的规律性
- 通过体系的整理，罗列,观察类推出相似性并找到规律
- 理解主要原理，法则，公式的推论方法练习推论
- 从一般的性质向特殊性演绎，并试着举反例
- 熟悉数学的多种证明方法，自己试着证明数学命题
- 阅读给定的证明过程能确定并理解证明过程中应用的数学原理。