三角形中线、角平分线定理总结

三角形中线、角平分线定理总结
1.三角形的中线定理，又称阿波罗尼斯定理，一种欧式几何的定理，表示三角形三边和中线长度关系。

定理内容：
（1）文字语言：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方和与该中边平方和的2倍。

（2）符号语言：三角形ABC 的边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，其中点,,D E F 分别是,,BC AC AB 的中点，如图所示:
（3）图象语言：1）22221
22b c a AD +=+
2）2222122b a c CF
+=+ 3）22221
22a c b BE +=+
（4）以命题1）2
222122b c a AD +=+为例
证明过程：
在三角形ABD ，由余弦定理，可得：
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即2
22112cos 22c AD a AD a ADB ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------（1） 在三角形ADC 中，又余弦定理可知：
222
2cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠
B C
即222112cos 22b AD a AD a ADC ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----（2） 又因为ADC ADC π∠+∠=，则ADC ADC π∠=-∠
所以cos cos ADC ADC ∠=-∠
有（1）（2）联立，且（1）式+（2）式，得：
2222122
c b AD a +=+，命题得证.
阿波罗尼斯介绍：（Apollonius of Perga Back ）
古希腊人（公元前262--前190），写了
八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，
书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切
线，共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短
与最长距离等，阿波罗尼斯圆是他论著中一
个著名的问题，他与阿基米德、欧几里德被
誉为古希腊三大数学家.
如题：
例1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.且
()()()B b c a B A c b a sin sin sin 2222222-+=--+.
（1）求角C ；
（2）若22=c ，ABC ∆的中线2=CD ，求ABC ∆的面积.
2.三角形角平分线定理：
定理内容：
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
证明：
如图，在ABC ∆，AD 是BAC
∠的平分线，过点D 作AB DE ⊥，
AC DF ⊥，
AD 是角BAC ∠的平分线，AB DE ⊥，AC DF ⊥ DF DE =∴（定理1）
DE AB S ABD ⋅=∆21 ，AD AC S ACD ⋅=2
1 AC AB S S ACD ABD ::=∴∆∆
过点A 作BC AG ⊥，垂直为G
AG BD S ABD ⋅=∆21 ，AG CD S ACD ⋅=∆2
1 CD BD S S ACD ABD ::=∴∆∆
CD BD AC AB ::=∴
定理3.已知AD 是ABC 的角平分，则CD BD AC AB AD ⋅-⋅=2（角平分线长定理
如：
例2. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，其面积A b S sin 2=.
（1）求b c 的值
（2）设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，332=
AD ，3=a ，求b . 解：（1）由A b A bc S sin sin 21
2==，可知b c 2=，即2=b
c .
（2）由角平分线定理可知，332=BD ，33=CD ，
在ABC ∆中，32234cos 22⋅⋅-+=b b b B ，在ABD ∆中，3322234344cos 2⋅⋅-+
=b b B ， 即332223434432234222⋅⋅-+=⋅⋅-+b b b b b ，解得1=b .。