基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,R b a ∈，则ab b

a ≥+2

（2）若*

,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论 （1）若0x >，则1

2x x

+

≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

22111

22b a b a ab b a +≤+≤≤+

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,abc

d R ∈，则22222

()()()

a b c d a c b d ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

2

2

222

22

1

2311

23

112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、已知

c

b a ,,为两两不相等的实数，求证：

ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=，求证：2

2

2

1

3

a b c ++≥

4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：

a b c

c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：

1111118a b

c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222

1a b c b c a

++≥.

7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2

2

3

3

22-≥-

题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域 （1）2

2

21

3x x y += （2）)4(x x y -=

（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）

1、已知2>x ，求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数4

24

2-+=x x y 的最小值；

变式2：已知2

24

2-+=x x y 的最大值；

练习：1、已知54x >，求函数14245

y x x =-+-的最小值；

2、已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）

1、当时，求(82)y x x =-的最大值；

变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

2、若02<

变式：若40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大值；

（提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数)4

11

43(41134<<-+-=x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

法一：

法二：

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

变式2：已知28

,0,1x y x y

>+=，求xy 的最小值；

变式3：已知0,>y x ，且11

9x y

+=，

求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且19

4x y

+=，求x y +的最小值；