东北大学文科高数一期末试卷练习题 (5)

…
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…
学院 班级 学号 姓名
…
… 2. 求由 xy2 ey cos(x2 ) 0 所确定函数的微分 dy . …
… 解.由于： y2dx 2xydy eydy 2x sin(x2 )dx 0
2分
…
○ …
所以，
dy
2x sin(x2 ) 2xy ey
y2
dx
x
(1 cos t)dt
3.
lim
x0
0
x sin x2
__________1/6_________.
4.向量组1 (1, 2,1)T ，2 (2, 3, 4)T ，3 (1, 1, 3)T 的秩 r{1, 2 ,3} ___ 2 ____ .
… 2.下列函数在指定的变化过程中，哪个是无穷小？[ D ];
9/2
2分 3分 4分
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学院 班级 学号 姓名
…
…
…
得分：
…
六.（4
分）
a
为何值时线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1 2x1 x2 3x3 4x4 2
有解？有
3x1 3x2 4x3 5x4 a
…
○
…
解 .由于
解时求其通解.
…
1 1 2 3 1 1 5 0 1 1
A
的逆矩阵
A1
[
C ];
lim x( 1 sin x 1 sin x )
2分
x0
2sin x
1
3分
线 … …
( A)
4 2
13
；
(B)
1 2
43 ，
(C)
1 4
2
3
2 1
；
(D)
1 4
2
3
2
1
.
…
…
…
…
得分：
二.填空题（每题 2 分，共 10 分）
…
…
… … 1.曲线 y 2xy 3x2 2 0 上对应 x 0 处的切线方程为__ y 4x 2 __；.
… …
(C) f (x) 是奇函数；
(D) f (x) 是有界函数.。
解 lim
ln(1 x)
x0 1 sin x 1 sin x
… …
4.
3
(2 5x)
9 x2 dx [
3
A ]；
○ …
(A) 9 ； (B) 18 ； (C) 4.5 ； (D) 3 。
… … …
5.设矩阵
A
1 3
2 4
，则
… …
解 设水池的高为 h，则底圆半径为 r V / h . 设蓄水池侧面每单位平面的造价为 d，
…
则有
… … ○
z(h) 3d V d 2 h V d (3V 2 hV )
h
h h
2分
… … …
令 z(h) d (
V h
3V h2
)
0
得
h
3
9V
3分
… 线
即高 h 3 9 V ,底圆半径为 r 3 V 时，蓄水池造价最低.
3
4分
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
本试卷 共 3 页第 3 页
…
…
( A) sin x ; x 0; ，
○
x
(B)
x2 4 ,
x 2;
x2
5，齐次线性方程组
x1 2x2 2x1 x2
3x3 5x3
0 0
有非零解，则 a
______ 7 ________ .
3x1 4x2 ax3 0
…
…
1
(C) e x , x ;
…
(D) x sin 1 , x 0. x
1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 1 0 (ຫໍສະໝຸດ AME)023
0
1
0
0
1
0
0
1/ 2
1
/
2
2分
0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1/ 3
… ○ … …
1 1 0
所以，
A1
0
1/ 2
1
/
2
0 0 1/ 3
3分
…
…
线 …
5.求向量组1 (1, 1, 4)T ，2 (2,1, 1)T ，3 (1, 2, 5)T 的一个最大无关组.
得分：
三.计算题 （每题 3 分，共 15 分）
… … 3.设 f (x) 3 x , x (1,1) ，则下列结论中不正确的是[ B ];
封 …
(A) f (x) 在 x 0处连续； (B) f (x) 在 x 0处可导；
1. 求极限. lim
ln(1 x)
x0 1 sin x 1 sin x
…
(
AM
)
2
1
3
4
2
0
3
1
2
0
，
1分
…
3 3 4 5 a 0 0 0 0 a 3
… 密
所以， a 3时，方程组有解.
2分
… … …
x1 1 5c1 c2
方程组的解为：
x2 x3
c1 3c1
2c2
4分
…
x4 c2
c1, c2 R
…
○
…
…
…
…
得分：
…
封
七.（4 分）要修建一个容积为 V 的圆柱形无盖蓄水池，如果水池底面每单 位平面的造价是侧面每单位平面的造价的 3 倍，问底圆半径和高为多少时 蓄水池造价最低.
3分
…
…
…
…
3. 计算定积分
2
e
x
dx .
密
1
… 解
…
2
e
x
dx
2
2 tet dt
1
1
1分
… …
2tet |1 2
2
2 et
1
dt
2分
…
2 2e 2 2e 2et |1 2 2( 2 1)e 2
3分
○
…
…
… …
1 2 3
4.求矩阵
A
0
2
3
的逆矩阵.
…
0 0 3
封 解 由于,
… … … …
又由于
lim y sin 1 ， lim y 不存在
x1
3
x2
所以 x 1是可去间断点， x 2 是第二类（震荡）间断点.
1分
2分 3分
得分：
五.（4 分）求由曲线 y2 x ，直线 y x 2 围成的图形的面积.
解 A 2 ( y 2 y2 )dy 1
(
y2 2
2y
y3 3
) |21
一.单项选择题（每题 2 分，共 10 分）
2. 设 f (x 1) 2x2 ln x ，则 f (1) ______8 ln 2 _____.
…
… 密 …
1.函数 f (x) 10000 sin 1 , x 0 是[ B ]; x
…
( A) 奇函数； (B) 有界函数； (C) 单调函数； (D) 偶函数.
…
1 2 1 1 2 1
… … …
解
由于
(1
,
2
,
3
)
1
1
2
0
3
3
4 1 5 0 0 0
2分
… …
所以，1,2 是一个最大无关组.
3分
… 注：答案不唯一，任意两个向量都是最大无关组.
…
…
…
…
得分：
四.（3
分）求函数
y
sin(
x2
x 1 x
) 2
的间断点，并指出其类型.
解 .由于 x 1, x 2 函数无定义，所以 x 1, x 2 是间断点.
学院 班级 学号 姓名
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东北大学考试试卷（A 闭卷）
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2016—2017 学年第 一 学期
总分 一 二 三 四 五 六 七
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课程名称：高等数学②（一）
○ …
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… 得分： …