专题三 第2讲

第2讲 数列的求和问题

热点一 分组转化法求和

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列的通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．

例1 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1

n b n ＝b n ＋1－

1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；

(2)记数列{c n

}的前n 项和为T n

，且c n

＝⎩⎨⎧

1

b n b n ＋2

，n 为奇数，－1

a n

，n 为偶数，

①求T 2n ；

②若对n ∈N *，T 2n ≥T 2k 恒成立，求正整数k 的值． 解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n ， 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2，

当n ≥2时，1

n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n ，

所以b n ＋1n ＋1－b n

n

＝0，

所以b n ＝n .当n ＝1时，满足b 1＝1，故b n ＝n .

(2)①T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝

1b 1b 3－1a 2＋1b 3b 5－1a 4＋…＋1b 2n －1b 2n ＋1－1a 2n

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 －⎝⎛⎭⎫

122＋124＋…＋122n ＝

13·4n －14n ＋2＋1

6

. ②当n ≥2时，

∵T 2n －T 2n －2＝13·4n －14n ＋2＋1

6

－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13·

4n －1－14n －2＋16＝14n 2－1－1

4n >0， ∴T 2最小，∴k ＝1.

思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．

跟踪演练1 已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{}b n －a n 为等比数列(n ∈N *)． (1)求数列{a n }和{}b n －a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ， 因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16， 所以a 1＋d ＝3,4a 1＋4×32d ＝16，

解得a 1＝1，d ＝2，

所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．

设{}

b n －a n 的公比为q ，则b 4－a 4＝()

b 1－a 1q 3，

所以q 3

＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－7

4－1

＝27，得q ＝3，

所以b n －a n ＝()

4－1×3n －1＝3n (n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1，

所以S n ＝(3＋32＋33＋…＋3n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)

＝3()1－3n 1－3

＋n ()1＋2n －12

＝32(

)

3n －1＋n 2＝3n ＋12＋n 2－3

2

(n ∈N *)． 热点二 错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝t n ，n ∈N *.

(1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，令b n ＝n ·(3－2a n )，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)a 1＝1，a n ＋1－a n ＝t n ，a 2＝1＋t ， a 3＝a 2＋t 2＝t 2＋t ＋1，

由a 1，2a 2，3a 3成等差数列可得4a 2＝a 1＋3a 3，得3t 2－t ＝0， 所以t 1＝0，t 2＝1

3，又因为{a n }是递增数列，

所以t ＝1

3

.

所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫13n

，

则a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)， 所以a n ＝1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1＝1－1

3n

1－1

3 ＝3

2⎝

⎛⎭⎫1－13n (n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝n ·(3－2a n )＝n ·13n －

1.

则T n ＝1×130＋2×131＋3×132＋…＋n ×1

3n －1，①

13T n ＝1×131＋2×132＋3×133＋…＋n ×1

3

n ，② 由①－②可得，23T n ＝1＋131＋132＋…＋13n －

1－n ·13n ＝1－1

3n

1－13－n ·13n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n ·1

3n ， ∴T n ＝94－⎝⎛⎭⎫32n ＋94·1

3n

(n ∈N *)． 思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．

(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．

(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．

跟踪演练2 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1

2a n ＝1(n ∈N *)．数列{b n }是公差d 不等

于0的等差数列，且满足：b 1＝3

2a 1，b 2，b 5，b 14成等比数列．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＋12a 1＝1，a 1＝23

，

当n ≥2时，⎩⎨

⎧

S n ＝1－1

2a n ，

S

n －1＝1－1

2

a n －1，

S n －S n －1＝12(

)

a n －1－a n ，所以a n ＝1

3

a n －1(n ≥2)，

所以{a n }是以23为首项，1

3为公比的等比数列，

所以a n ＝23×⎝⎛⎭

⎫13n －1＝2×⎝⎛⎭⎫13n . 由b 1＝1，又b 25＝b 2b 14，得(

)1＋4d 2

＝()1＋d

()1＋13d ，

d 2－2d ＝0，因为d ≠0，所以d ＝2，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)．