材料非线性有限元法

第四章材料非线性有限元法

以上三章分别研究了线性弹性有限元法，材料非线性本构方程和非线性方程组解法，本章就可以研究材料非线性有限元法了。

在材料非线性基本方程中，除第二章所述的本构方程外，与线性弹性一样，而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题。因此，只要在第一章中改用第二章的本构方程，就可建立材料非线性有限元法的基本内容。

§4-1 非线性弹性有限元法

第二章提到，非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同，所以与第二章一样，这里也按塑性力学形变理论，研究非线性弹性有限元法，以便把二者统一起来。

1．非线性弹性基本方程为了便于以后直接引用，这里列出全量形式的非线性弹性（或形变理论弹塑性）基本方程，并用矩阵表示。

几何方程：

(1.14)

本构方程：

=[D

]

(2.13)

平衡方程：

(在

内) (1.20)

边界条件：

（在A

上）（1.22）

（在A

上） (1.23)

虚功方程：

(1.28)

位能变分方程：

=0 ( 1.31)

其中

(1.32)

(4.1)

2．非线性方程组的建立由于虚功方程本身不涉及材料性质，所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程（1.48）式和总体平衡方程（1.109）式完全适用于非线性弹性（或形变理论弹塑性）问题。可见，只要把非线性弹性（或形变理论弹塑性）本构方程代入单元或总体的平衡方程，就可以建立非线性方程组。

（1）割线刚度方程仿照线性弹性有限元法，把（1.36）式代入（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式便得单元割线刚度方程，即

(4.2)

其中单元割线刚度矩阵

(4.3)

而割线本构矩阵[

]

，如（2.14）式所示。

仿照（1.113）式的推导，同样可得总体割线刚度方程

即

(4.4)

其中总体割线刚度矩阵

(4.5)

而总体节点载荷{P}仍如（1.110）式所示。

由（4.5）式可知，总体割线刚度矩阵[K

]

取决于各单元的等效应变

；又由（2.5）式可知，等效应变

是由应变{

}计算出来的；再由（1.36）和（1.106）式可知，应变{

}与总体节点位移{U}有关。可见，总体割线刚度矩阵[K

]

是总体节点位移{U}的函数，所以总体割线刚度方程（4.4）式是一个非线性方程组。

必须指出，建立非线性方程组（4.4）式，只是为了说明非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程的非线性性质。实际求解时并不用（4.4）式。因为求解（4.4）式要用直接迭代法，而正如 3-2指出，直接迭代法不但计算量太大，而且常常不收敛。

（2）切线刚度矩阵由 3-2---3-6可知，在求解非线性方程组时，除上述直接迭代法外，都要用到切线刚度矩阵（至少要用到初始切线刚度矩阵[k

]

和[K

]

）。为此，这里讨论一下建立非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程中的切线刚度矩阵问题。

由（1.109）和（3.11）式可知

(4.6)

于是由（3.10）和（4.6）式可得

(4.7)

由于由（2.16），（1.36）和（1.106）式，并考虑到符号d{

}和d{

}

分别是{d

}和{d

}，有

(4.8)

(4.9)

(4.10)

所以把（4.8）---（4.10）式代入式（4.7）式便得总体割线刚度矩阵，即

(4.11)

其中单元切线刚度矩阵

(4.12)

（3）具有初应变理论或初应力的刚度方程仿照线性弹性有限元法，把形式上相同的（3.101）式代入（2.13）式，并令{

}={0}或{

}={0}，再把（2.13）式代入（1.48）式便得单元刚度方程，即

或

(4.14)

其中单元刚度矩阵

和初应变，初应力节点载荷

，{

}

仍分别如（1.50）和（1.53）、（1.54）式所示。但要强调，这里[k

]

的含义是单元初始切线刚度矩阵；{

}

中的初应变{

}或{

}

中的初应力{

}随迭代过程而变。

仿照线性弹性有限元法，同样可得总体刚度方程，即

或

(4.16)

其中总体刚度矩阵[

]

和总体初应变、初应力节点载荷{

}、{

}在形式上均与线性弹性有限元法相同。

3．等效应力、等效应变关系由（4.11）---（4.16）式可知，要建立并求解非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程，关键是要具体知道材料的本构矩阵。而由（2.14）和（2.18）式可知，只要（2.15）和（2.19）式中的函数关系

是已知的，那么本构矩阵就是显式的。

根据单一曲线假设，

和

的关系与单向拉伸时相同，即

(4.17)

再考虑体积不可压缩条件（

），则

(4.18)

其中

取决于所采用的简化模型。

理想塑性（见图4-1）：

(4.19)

线性强化塑性（见图4-2）：

(4.20)

幂次强化塑性（见图4-3）：