《正余弦定理的综合运用学案》

《正弦定理、余弦定理综合运用》导学案【知识要点】

1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有

(1)A＋B＋C＝，A＋B

2＝.

(2)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝.

(3)sin A＋B

2＝，cos

A＋B

2＝ .

2．正弦定理及其变形

(1)a

sin A＝b

sin B＝

c

sin C＝.

(2)a＝，b＝，c＝.

(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

(4)sin A∶sin B∶sin C＝.

3．余弦定理及其推论

(1)a2＝. (2)cos A＝.

(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2>a2＋b2⇔C为_____；c2

(1)S＝(h a表示a边上的高)；

(2)S＝＝＝；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c) (r为三角形内切圆半径)．

【小题巧练】

在ABC ∆中，解决下列问题

00(1)60,75b A C ===，

则=_________=__________ABC a s ∆，

4(2)5,4,cos =_______=_________5

ABC a b C s ∆===，则ｃ，

(3)1,2,=________=_________ABC a b c s ∆==，

0(4)8,7,60=_______=_________ABC a b B s ∆===，则ｃ，

【题型一】判断三角形形状

例1、在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．

【我来试试】

根据下列条件,分别判断ABC ∆的形状．

222(1)sin sin sin A B C +=

(2)cos cos a B b A ⋅=⋅

(3)cos cos a A b B ⋅=⋅

(4)cos cos a b c B c A -=-

小结：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理。

【题型二】面积问题

变式1、△ABC 的面积为32,2b c ==,且，求A 。

变式2、在△ABC 中，12,3,cos 3

a b C ===

,求△ABC 的面积。

变式3、已知△ABC 的面积222

4

a b c S +-=，求C 角的大小。

【题型三】关于三角形的综合问题

例3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35

，且AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .

【我来试试】

在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34

. (1)求1tan A ＋1tan C

的值； (2)设BA →·BC →＝32

，求a ＋c 的值．

【小结】

1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：

（1） 判断三角形的形状； （2） 三角形中的求面积问题。

2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼，或统一转化为三角函数，作三角变换； 或统一转化为边，作代数变换。

3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用三角形的有关性质和三角公式进行变形。

4、本节课渗透的主要数学思想： 转换的思想和方程的思想。