工程中的数值模拟与仿真——1 有限元法的理论基础

Γ

Ω
隐含条件：假定的积分能够进行计算 ——对函数 v, v , u能够选取的函数族提出了一定的要
求和限制，以避免积分中任何项出现无穷大的情况。
v和v以函数自身形式出现在积分中，因此对 v和v的选择 只需是单值的，并分别在Ω内和Γ上可积的函数即可。 这种限制并不影响“微分方程等效积分形式” 的有效性
in
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1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
微分方程的等效积分形式
v1 v v 2 vn v1 v v 2 vn

Ω
v T Au dΩ v1 A1 u v2 A2 u vn An u dΩ 0
i 1
n
ui ai vi w i
待定参数
1 0 0 N i IN i N i 0 1 0 0 0 1 坐标的独立函数
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1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
加权余量法
n取有限项数时
u u N1a1 N 2 a2 N n an N i ai Na
控制方程及边界条件的矩阵形式 y A1 u A u Au 2 0 in
An u B1 u B u Bu 2 0 Bn u
e
e
Au 0
Bu 0
x
on
O
A
k Q 0 k x x y y 0 on B k q 0 on q n
Γ
微分算子C,D,E,F中所包含的导数阶数较A低，降低了u 的连续性，但以提高 v和v 的连续性为代价
v和v 是可选择的连续函数，适当提高对其连续性要求
并不困难
形式上：“弱”形式对u的连续性要求降低了，但对实 际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解。
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1.2 微分方程的等效积分形式
2、等效积分的“弱”形式
具有Cn-1连续性的函数将使包含函数直至它的n阶导数 的积分成为可积。
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1.2 微分方程的等效积分形式
2、等效积分的“弱”形式
等效积分的“弱”形式
v T AudΩ v T BudΓ 0
Γ

分步积分
Ω

Ω
C T (v ) DudΩ E T (v )F udΓ 0
Ω
v BudΓ v B u v B u v B udΓ 0
T Γ Γ 1 1 2 2 n n
v AudΩ v BudΓ 0
T T Ω Γ
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1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
微分方程的等效积分形式
v T AudΩ v T BudΓ 0

Ω
v v
v k dxdy Ω k dxdy v(k )nx dΓ x x x x x v k dxdy k dxdy v ( k )n y dΓ Ω y y y y y
A Na R
B Na R
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1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
加权余量法
等效积分形式
v T AudΩ v T BudΓ 0
Γ

Ω
用n个规定的函数代替任意函数 v及v
v Wj;
T j
v W j
T j
j 1 ~ n
j 1 ~ n
W j，W j ——权函数
u

O
x
du dt O
x
d 2u dt 2 O
x

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1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
Cn-1连续性
一个函数在域内本身连续，一阶导数有有限个不连续 点但在域内可积，该函数称之为具有C0连续性的函数。 类推：如果在微分算子A出现的最高阶导数是n阶，则 要求函数u必须具有连续的n－1阶导数，即函数具有Cn-1连 续性。 一个函数在域内函数本身（即它的零阶导数）直至它 的n－1阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点但 在域内可积——具有Cn-1连续性的函数。
i 1 n
近似解不满足微分方程和边界条件
A1 u A u Au 2 0 An u
B1 u B u B u 2 0 Bn u
将产生残差
伴随着计算机软硬件的发展 功能强大的根据
有限差分法、有限单元法
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1.1 引言
有限差分法
特点：直接求解基本方程和定解条件的近似解 步骤：将求解区域划分网格 网格结点上用差分方程代替微分方程 应用：固结在空间的坐标系(Euler)下的流体力学问题
4
1.1 引言
有限单元法
特点：从与其等效的积分形式出发求近似解 等效积分的一般形式：加权余量法 适用于普遍的方程形式
n x nx y ny
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1.2 微分方程的等效积分形式
2、等效积分的“弱”形式
二维导热方程的等效积分及其“弱”形式
v v k k vQ dxdy vk dΓ v k q dΓ 0 Ω x q x y y n n v v
强制边界条件：假设Γφ上的边界条件 0 在选择函数φ时已事先满足
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1.2 微分方程的等效积分形式
2、等效积分的“弱”形式
二维导热方程的等效积分及其“弱”形式
v k k Q dxdy v k q dΓ 0 Ω q n x x y y
二维导热方程的等效积分及其“弱”形式
A k Q 0 k x x y y
on on q
0 B k q 0 n
等效积分形式
v k k Q dxdy v k q dΓ 0 Ω q n x x y y
u在积分中还将以导数或偏导数的形式出现，它的选择 取决于微分算子A或B中微分运算的最高阶次。
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1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
Cn-1连续性
连续函数有一斜率不连续点。设 想在一个很小的区间△中用一个连续 变化来代替不连续。可以看出不连续 点附近，函数的一阶导数是不定的， 但是一阶导数是可积的，即一阶导数 的积分是存在的。 不连续点附近函数的二阶导数趋 于无穷，使积分不能进行。如果在微 分算了 A 中仅出现函数的一阶导数， 上述函数对于 u 是一个合适的选择。
未知场函数u为三维力学问题的位移时，取近似解
u N1u1 N 2u2 N nun N i ui
i 1 n
v N1v1 N 2 v2 N n vn N i vi
i 1
n
w N1w1 N 2 w2 N n wn N i wi
如果方程具有特定的性质，等效积分形式的迦辽 金法可归结为某个泛函的变分，相应的近似解实际上 就是求泛函的驻值
有限单元法：不是在整个求解域上假定近似函数，而 是在各个单元上分片假设近似函数 克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难——近代
数值计算的重大突破
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1.2 微分方程的等效积分形式
1、微分方程的等效积分形式
u u N1a1 N 2 a2 N n an N i ai Na
n i 1
ai——待定参数 Ni——试探函数（基函数、形函数） 已知函数，取自完全的函数系列，线性独立的
近似函数通常选择满足强制边界条件和连续性的要求
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1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
近似解形式
工程中的数值模拟与仿真
有限单元法的理论基础
1 有限单元法的理论基础
1.1 1.2 1.3 1.4 引言 微分方程的等效积分形式 加权余量法 变分原理和里兹方法
2
1.1 引言
力学和物理问题的数学模型
1、常微分方程和偏微分方程 2、相应的定解条件 力学和物理问题的求解方法 1、解析方法 方程性质简单、几何性质规则 2、数值方法
Ω
v v k k vQ dxdy vk ( n n ) d Γ v k q dΓ 0 x y Ω x q x y y x y n v v k k vQ dxdy vk d Γ v k q dΓ 0 Ω x q x y y n n
B k q 0 n
若在选择场函数φ时满足强制边界条件，则可通过适 当选择 v 使在Γφ边界上 v=0 而略去沿Γφ边界积分项，使 相应的积分“弱”形式取得更简洁的表达式
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1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
近似解形式
场函数u的精确解满足微分方程和边界条件，则等效积 分形式或其弱形式必然满足 实际的复杂问题难以找到精确解，需要设法找到具有 一定精度的近似解
得到近似等效积分形式
W ANadΩ W BNadΓ 0Ω Γ余量形式W
Ω
T j
RdΩ W RdΓ 0
Γ
T j
j 1 ~ n
通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零
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1.3 加权余量法
1、精确解与近似解
加权余量法
余量的加权积分为零可得到一组求解方程，用以求解 近似解的待定系数a，得到原问题的近似解 展开
v k q dΓ n vk dΓ vk dΓ v k dΓ v qdΓ q q q n n n vk dΓ vqdΓ q n
q
vk n dΓ
q

v v k k vQ dxdy vk d Γ vqd Γ 0 Ω q x x y y n x T vkd vQd vqdΓ vk dΓ 0 y Ω Ω q n



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1.2 微分方程的等效积分形式
2、等效积分的“弱”形式
二维导热方程的等效积分及其“弱”形式
Ω vkd Ω vQd q vqdΓ vk n dΓ 0
T
k以自身出现，φ以一阶导数出现，允许域内k和φ的一 阶导数出现不连续，而这种可能性在微分方程中不允许。 自然边界条件：场变量φ不出现在Γφ的边界积分中。 Γφ边界上的边界条件自动得到满足