《导数的应用习题课》课件

|的单调性.
解:函数的定义域为(,0) (0,1) (1,).
当x<0或x>1时, f (x) x x 1 2x2 2x 1 .
x 1 x x(x 1)
f ( x)
2x 1 x2( x 1)2
.
故当x<0时,
f (x) 0;当x>1时, f (x) 0.

3a
a
b 2b

2 3

a b

1 . 3
(2) f (x) 3x2 6x 3x(x 2) 0 ,解得x>0或x<-2.
故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).
[m, m 1] (,2]或[m, m 1] [0,).
导数的应用习题课
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图：
2．基本思想与基本方法： ①数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调
性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探
讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极
值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践
的辩证关系，具有较大的实践意义。 ②求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤：
x)

0
,得x1

2

2
3 3
,
x2
2 2 3. 3
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
,0)

23 3
时,S(
x)max

32 9
3
.
时,矩形的最大面积是
32
3.
2
9
例5:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的
切线垂直的直线).
解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的
斜率为 k

y 2x5,从而法线的斜率为

1 2x5
.
故法线方程为Y

1 3
x6


1 2x5
(
X

x).
令X=0,得法线在y轴上的截距: Y
则Y

2x5

2 x5
4.
故当 4 时,(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是
增函数,即满足条件的 存在.
另解:由已知的单调性知:(-∞,-1)内 f (x) 0,(-1,0)内 f (x) 0
又( x)在点x=-1处连续,故点x=-1是极小值点.
(1) 0 4.
a
cos
(0


).
cos
2
y( ) 8a cos
a sin2 a cos 2

cos 2
8a cos
a
cos 2
.
令 y 0 cos3 1 cos 1 .
8
2
3
由于y(θ)只有一个极小值,所以它是最小值,这时y 3 3a.
3
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围.
答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域.
说明:此题为p.248第15题. 解:(1)由已知得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=
(x2+1)2+c;
由f[f(x)]=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即 (x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1.
从而g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.
练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间.
答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小
四、作业
p.257~258课后强化训练.
例2:已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1) (1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式. (2)设(x) g(x) f (x) ,试问:是否存在实数 ,使(x) 在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.
答:由已知得 f (0) f (2) 0,可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
i）求f′(x)； ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。 ③证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性： i）求f′(x)； ii）解不等式f′(x)＞0（或f′(x)＜0）； iii）确认f′(x)在(a，b)内的符号； iv）作出判断。
(2)( x) g( x) f ( x) x4 (2 )x2 (2 ).
若满足条件的 存在,则( x) 4x3 2(2 )x.
由函数( x)在(-∞,-1)内为减函数知,当x<-1时,
( x) 0,即4x3 2(2 )x 0 对于 x (,1)恒成立.
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .

xy

1
(1

2
cos
) s in
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
f
(
)

1
2
[ sin2


(1
cos
) cos
]

(cos

1)(cos

1 ).
当0<x<1时,
f (x)


2x2 2x 1 ,
x( x 1)
f
( x)
2x 1 x2( x 1)2
,
故当0<x<1/2时,f (x) 0;当1/2<x<1时, f (x) 0.
因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2) 和(1,+∞)上是减函数.
i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确
定f（x）的最大值与最小值。 ⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值
点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定
最值，不必再与端点的函数值作比较。
二、例题选讲
例1:讨论函数
f
(
Байду номын сангаас
x)
|
x
x
1
|

|
x1 x
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
2
3
f ( )
3
33 8
,又f(0)=f(π)=0,[
f ( )]max

33 8
.
故当 x 3 , y
2
3 4
时,
( xy)max

33 8
.
例6:证明不等式: ln x 1 1 ( x 1)2 1 2 (1 x)3( x 0).
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
ln x 1 1 ( x 1)2 x2

1
2 3
(1
x)3
成立.
三、小结
1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法. 2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.
3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结 合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的 灵活性和变通性.

2( x10 1) x5 .
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x

1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加.
故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
范围. 解:(1) f (x) 3ax2 2bx,
由题意得:

f (1) 2 f (1) 3
x 1,2(2 )x 4x2;而 4x2 4,
2(2 )x 4 4.
又函数( x)在(-1,0)内为增函数知,当-1<x<0时,
( x) 0,即 4x3 2(2 )x 0对于 x (1,0) 恒成立.
2(2 ) 4x2 , 1 x 0, 4 4x2 0, 2(2 ) 4
故另一走廊的宽度至少是 3 3a.
例5:如图宽为a的走廊与另一走廊 垂直相连,如果长为8a的细杆
B 8a θ C y
能水平地通过拐角,问另一走
A a
廊的宽度至少是多少?
解:设细杆与另一走廊一边夹角为 (0 ),又设另一走
廊的宽为y. AB a , BC 8a a . 2
cos
y( ) BC sin 8a sin
④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f′(x)； ii）求方程f′(x)=0的全部实根； iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。
⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数， 求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
x2
3
证:设
f
(x)

ln
x

1 x

1 2
(x
1)2

2(x 3
1)3( x

0).
则
f
( x)

1 x

1 x2
(x
1)
2( x
1)2

(x
1)3

2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.