2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案
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一、填空
1. 设
2.3149541...x *
=，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 .
2.设一阶差商
()()()21122114
,321f x f x f x x x x --=
=
=---，
()()()322332
615
,422f x f x f x x x x --=
=
=--
则二阶差商
()123,,______
f x x x =11/6
3. 设(2,3,1)T
X =--, 则2||||X =
14 ，
=∞||||X 3 。p49
4. 4．求方程 2
1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始
值
01
x =， 那么
1______x =。
1.5
5．解初始值问题 00
'(,)()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩近似解的梯形公式是
1______k y +≈。
()()[]11,,2
++++k k k k k y x f y x f h y
6、
1151A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭，则A 的谱半径 ＝ 6 。
7、设
2()35, , 0,1,2,... ,
k f x x x kh k =+== ，则
[]12,,n n n f x x x ++=
—————
—————3 和
[]123,,,n n n n f x x x x +++=
_______________0_____ 。
8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都
收敛
。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_______O(h）___。
10、为了使计算
23 123 10
1(1)(1)
y
x x x
=++-
---的乘除法运算次数尽量的少,应将
表达式改写成____________⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
+
-
+
=
1
3
2
1
1
1
1
1
10
x
x
x
y_____________。
二、计算题
1、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？
由()
x x
ϕ
=，可得3()3
x x x x
ϕ
-=-，
1
(()3)()
2
x x x x
ϕψ
=--=
1
()(()3)
2
x x
ψψ
=--
’’
因，故
11
()1
22
x x
ψϕ
=<<
’’
（）-3
[]
1
1
()()3 , k=0,1,....
2
k k k k
x x x x
ψϕ
+
==--
故收敛。
2、试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
101612
,,
995
A C
B a
====±
，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
3、利用矩阵的LU分解法解方程组
123
123
123
2314
25218
3520
x x x
x x x
x x x
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
4、写出求解下列初始值问题⎩
⎨
⎧
=
≤
≤
-
=
2
)1(
)2
1(
,
3
8
'
y
x
y
y
的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。
5.设
2
1
2
S gt
=
，假定 g是准确的，而对的测量有±秒的误差，
证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：
2
**2
22
11
()0.1
22
()0.10.2
()
11
22
,(),().
r
r
e S S S gt gt gt
e S gt
e S
t
gt gt
t e S e S
=-=-=
===
∴↑↑↓
6.在x
-≤≤上给出x
f x e
=的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10-，问使用函数表的步长应取多少？解：
()4
0000
(),(),[4,4],,,, 1.
x k x
f x e f x e e x x h x x h x x th t
==≤∈--+=+≤
考察点及
(3)
2000
4
43
4
3
()
()[(()]()[()]
3!
(1)(1)
(1)(1)
3!3!
2
.(4,4).
633
f
R x x x h x x x x h
t t t
e
t h th t h e h
e
h
ξ
ξ
=----+
-+
≤+⋅⋅-=
≤⋅∈-
则
7.已知单调连续函数y f x
=的如下数据