无穷级数习题及解答w

无穷级数例题选解
1．判别下列级数的敛散性：
21
2
1
1
1
1
11!
21(1)
sin
;(2)
ln(1);(3)
;(4)
(
)
32
n n
n n n n n n n
n
n
n ∞
∞
∞
∞
+====++
-∑
∑
∑∑
2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
（1
）21
1
(1)
[
3
n n
n n ∞
-=-+
∑； （2）
2
1
cos 3
n
n n n ∞
=∑
； （3）
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑。

3
．求幂级数0n
n ∞
=∑
的收敛区间。

4．证明级数1
!n
n
n n x n
∞
=∑
当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

5．在区间(1,1)-内求幂级数
1
1
n n x
n
+∞
=∑
的和函数
6． 求级数∑
∞
=-2
2
2
)1(1n n
n 的和。

7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0
(1)
3
(21)
n
n
n n ∞
=-+∑ 的和
8．设11112,()2n n n
a a a a +==
+
（1,2,n = ）证明
1）lim n n a →∞
存在； 2）级数1
1
(
1)n n n a a ∞
=+-∑收敛。

9．设40
tan n
n a xdx π
=
⎰
，
1） 求21
1()n n n a a n
∞
+=+∑
的值；
2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。

10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞
=-1
)1(n n n a 发散，试问∑∞
=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
+111
n n
n a 是否收敛？并说明理由。

11．已知222111358
π
+++= ，计算1
011ln 1x
dx x x +-⎛⎜
⎠。

12．计算
4
8
3
7
11
15!
9!
3!
7!
11!
π
π
π
π
π
+
+
++
+
+。

参考答案：
1．解：（1）2
2
11sin n n
<
，而∑
∞
=1
2
1n n
收敛，由比较审敛法知
∑
∞
=1
2
1sin
n n
收敛。

（2）)(1~
)11ln(∞→+
n n
n
，而∑
∞
=1
1n n 发散，
由比较审敛法的极限形式知
∑∞
=+
1
)11ln(n n
发散。

（3） e n n n n
n n u u n
n n
n n n
n n 11lim !)
1()!1(lim
lim
1
1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⋅++==∞→+∞
→+∞
→ρ，
1<ρ
，由比值审敛法知
∑
∞
=1
!n n
n
n 收敛。

（4） 9423122312lim lim
1
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∞→∞
→n
n n
n
n n n n n u ρ， 1<ρ
，由根值审敛法知 ∑∞
=+⎪
⎭⎫
⎝
⎛-+11
22312n n n n 收敛。

2．解：（1）对于级数∑∞
=--1
21
3
)
1(n n
n n ，
由3
1|
|||lim
1=
=+∞
→n n n u u ρ，知级数∑∞
=--1
21
3
)
1(n n
n n 绝对收敛，
易知∑∞
=--1
1
1)
1(n n n
条件收敛，故
2
1
1
(1)
[]
3n n n n ∞
-=-+∑条件收敛。

（2）n n
n u n n n =≤
3
|3
cos |
22
，由3
1lim
1=
=+∞
→n
n n u u ρ，知级数∑
∞
=1
23
n n
n 收敛，
故2
1
cos 3
n
n n n ∞
=∑
绝对收敛。

（3）记n
n u n ln 1-=
，n u n 1≥
，而∑
∞
=1
1n n
发散，故∑∞
=1
n n u 发散，
令x x x f ln )(-=，x
x f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间
),1(+∞内单调增加，由此可知 1+>n n u u ，又0lim =∞
→n n u
，故1
1
(1)
n n ∞
-=-∑收敛，
但非绝对收敛，即为条件收敛。

3．解：收敛半径为 11
2lim
||
lim 1
=++==∞
→+∞
→n n a a R n n n n ，
当2=x 时，得级数∑
∞
=+0
1
1
n n ，发散； 当0=x 时，得交错级数∑
∞
=+-0
1
)
1(n n
n ，收敛。

所求收敛区间为[0,2)。

4．证：收敛半径 e n n n n n R n
n n n n =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++⋅=∞→+∞→11lim )!1()1(!lim 1
，
当||x e <时幂级数绝对收敛，当e x >||时幂级数发散，
当e x =||时，得级数
∑
∞
=±1
)
(!n n
n
e n
n ，n
n
n e
n
n u !||=
，
n
n n n e u u )
11(|
|||1+
=+，因
n
n n
x )11(+
=单调增加，且e x n n =∞
→lim ，故e x n <，于是得||||1n n u u >+，由此
0lim ≠∞
→n n u ，故级数∑
∞
=±1
)(!n n
n
e n
n 发散。

5．解：设∑
∞
==
1)(n n
n
x
x s （11<<-x ），0)0(=s ，
∑
∞
=-=
'1
1
)(n n x
x s x
-=
11
，
⎰
'+
=x
dx x s s x s 0
)()0()(⎰
-=
x dx x
11)1l n (x --=，
∑
∞
=+--==1
1
)1l n ()(n n x x x xs n
x
（11<<-x ）。

6．解：设∑
∞
=-=
22
1
)(n n
n x
x s （11<<-x ），则
∑
∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=
2
111121)(n n
x n n x s ，
其中
∑
∑
∞
=∞
==-12
1
n n n n n
x
x n x
，
∑∑
∞
=∞
==
+3
2
1
1
n n
n n
n
x
x
n x
（0≠x ）。

设∑
∞
==
1
)(n n
n
x
x f ，则∑
∞
=--=
=
'1
1
11
)(n n x x
x f ，
于是 ⎰
'+=x dx x f f x f 0
)()0()(⎰
-=
x dx x
11
)1l n (x --=，
从而 ]2
)1l n ([21)]1ln([2
)(2
x
x x x
x x x s -
----
--=
)1l n (214
22
x x
x x --++=
（0,1||≠<x x ）。

因此 ∑
∞
=-2
22
)1(1n n
n ==)21(s 2ln 4
3
85-。

7．解：∑∞
=-=
+=
'0
22
)
1(11)(n n
n
x
x
x f （1||<x ），
∑⎰∑⎰
∞
=+∞
=+-=
-=
'+
=0
1
20
20
1
2)
1(])
1([)()0()(n n n
x
n n
n
x n x
dx x
dx x f f x f （1||<x ），
因)(x f 在点1±=x 处连续，而∑∞
=++-0
1
21
2)
1(n n n
n x
在点1±=x 处收敛，
从而 ∑∞
=++-=
01
21
2)
1()(n n n
n x
x f （1||≤x ）。

于是 0
(1)
3(21)
n
n
n n ∞
=-+∑
π6
3)3
1(
33112)
1(31
20
=
=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+-=+∞
=∑
f n n n n。

8．证：1）因 11)1(2
11=⋅
≥
+
=
+n
n n
n n a a a a a ，
021)1
(2
12
1≤-=
-+
=
-+n
n n n
n n n a a a a a a a ，
故}{n a 是单调减少有下界的数列，所以n n a ∞
→lim 存在。

2）由（1）知 11
1
1
10++++-≤-=
-≤
n n n n n n n a a a a a a a ，
记111
1)(+=+-=-=
∑n n
k k k
n a a a a
s ，因1lim +∞
→n n a 存在，故n n s ∞
→lim 存在，所以∑∞
=+-1
1)(n n n a a 收
敛，由比较审敛法知1
1
(
1)n n n a a ∞
=+-∑收敛。

9．证：1） 因为 ⎰
+=
++40
2
2)t a n 1(t a n 1)(1π
dx x x n
a a n
n n n )
1(1
s e c t a n 1402
+=
=
⎰
n n x d x x n
n
π
，
1
11)
1(1
)(1
1
1
2+-
=+=
+=
∑∑==+n k k a a k
s n
k n
k k k n ，
所以
21
1
()n
n n a
a n ∞
+=+∑1lim ==∞
→n n s 。

2） 因为 1
12+=
+<+n a a a n n n ，所以
1
1)
1(1+<
+<
λλ
λ
n
n n n
a n ，
由11>+λ知∑
∞
=+1
1
1n n
λ收敛，从而1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。

10．解：级数∑∞
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+111n n
n a 收敛。

理由：由于正项数列}{n a 单调减少有下界，故n n a ∞
→lim 存在，记n n a a ∞
→=lim ，则0≥a 。

若0=a ，则由莱布尼兹定理知
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 收敛，与题设矛盾，故0>a 。

因为 111
11
lim <+=+∞→a a n
n ，由根值审敛法知级数∑∞
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+111n n
n a 收敛。

11．解：由 ∑
∞
=--=+1
1
)1()1ln(n n
n x n
x （1||<x ）
， 得 ∑
∑
∞
=∞
=-+
-=
--+=-+1
1
11)1()1l n ()1l n (11ln
n n
n n
n x
n
x n
x x x
x ∑
∞
=++=0
1
21
212n n x
n
1
011ln 1x
dx x x +-⎛⎜⎠⎜⎠⎛+=∑∞=1
002]121[2dx x n n n ∑∞
==+=02
2
4)
12(12n n π。

12．解：由 ∑∞
=++-=
01
2)!12()
1(sin n n n
x
n x ，
得 0s i n )!12()
1(01
2==+-∑∞
=+ππ
n n n
n ，
于是
=
+∑∞
=+0
1
4)!
14(1
n n n π
∑∞
=++0
3
4)!34(1
n n n π
，
从而
4
8
3
7
11
15!
9!
3!
7!
11!
π
π
π
π
π
+
+
++
+
+
π
π
ππ
1
)!
34()!
14(1
3
401
4=
++⋅
=
∑
∑
∞
=+∞
=+n n n n n n 。